【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1 第1课时 参数方程的概念、圆的参数方程教案 新人教A版选修4-4.docVIP

第1课时　参数方程的概念、圆的参数方程 课标解读 1.了解曲线的参数方程的概念与特点． 2．理解圆的参数方程的形式和特点． 3．运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题. 1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程． 图2－1－1 2．圆的参数方程 (1)如图2－1－1所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设M(x，y)，点M转过的角度是θ， 则(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程． (2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程 普通方程 参数方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (θ为参数) 　曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？ 【提示】　联系x、y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度. 参数方程的概念 　已知曲线C的参数方程是(t为参数，aR)，点M(－3,4)在曲线C上． (1)求常数a的值； (2)判断点P(1,0)、Q(3，－1)是否在曲线C上？ 【思路探究】　(1)将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x，y，消去参数t，求a即可； (2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上． 【自主解答】　(1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a＝1. (2)由上述可得，曲线C的参数方程是 把点P的坐标(1,0)代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，－1)代入方程组，得到这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上． 　点与曲线的位置关系 满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上． (1)对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0. (2)对于曲线C的参数方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上， 则对应的参数t有解，否则参数t不存在． 　(2013·周口质检)已知曲线C的参数方程为 (θ为参数，0≤θ2π)． 判断点A(2,0)，B(－，)是否在曲线C上？ 若在曲线上，求出点对应的参数的值． 【解】　把点A(2,0)的坐标代入 得cos θ＝1且sin θ＝0， 由于0≤θ2π，解之得θ＝0， 因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0，同理，把B(－，)代入参数方程，得 又0≤θ2π，θ＝π，所以点B(－，)在曲线C上，对应θ＝π. 圆的参数方程及应用 　设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为(　　) A．1　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 【思路探究】　化参数方程为普通方程，根据圆心到直线l的距离与半径大小作出判定． 【自主解答】　由 得(x－2)2＋(y＋1)2＝9. 曲线C表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝3， 所以直线与圆相交．所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意， 又3－d，故满足题意的点有2个． 【答案】　B 1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系． 2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断．特别要注意变量的取值范围． 　已知直线y＝x与曲线(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|. 【解】　由得 (x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r＝2， 则圆心(1,2)到直线y＝x的距离d＝＝. |AB|＝2＝2 ＝. 　如图2－1－2，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(12,0)，当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹． 图2－1－2 【思路探究】　引入参数→化为参数方程→ 设动点M(x，y) 求动点的参数方程→确定轨迹 【自主解答】　设动点M(x，y)， 圆x2＋y2＝16的参数方程为(θ为参数)， 设点P(4cos θ，