【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1 柯西不等式课后知能检测 新人教B版选修4-5.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1 柯西不等式课后知能检测 新人教B版选修4-5 一、选择题 1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为(　　) A．1　　　 B．2 C. D．4 【解析】　(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2， ax＋by≤. 【答案】　C 2．若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为(　　) A．3 B．1 C. D. 【解析】　a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式， (1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2) a2＋b2＋c2≥3. 当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立． 的最小值为. 【答案】　D 3．已知x＋y＝1，且x0，y0，那么2x2＋3y2的最小值是(　　) A. B. C. D. 【解析】　2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)(＋)·≥(x·＋y·)2＝(x＋y)2＝. 当且仅当x·＝y·，即x＝，y＝时等号成立． 2x2＋3y2的最小值为. 【答案】　B 4．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为(　　) A．1　　　　B．－1 C．2　　　D．－2 【解析】　(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)， ≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4， 故a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2. 因此a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为2. 【答案】　C 二、填空题 5．(2013·湖南高考)已知a，b，cR，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________． 【解析】　a＋2b＋3c＝6，1×a＋1×2b＋1×3c＝6. (a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号． 【答案】　12 6．设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________． 【解析】　由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2， 当且仅当向量a与b共线时“＝”成立， 5×16≥(x－2z)2， －4≤x－2z≤4， 即－4≤a·b≤4. 故a·b的最大值为4. 【答案】　4 三、解答题 7．已知θ为锐角，a，b均为正实数．求证：(a＋b)2≤＋. 【解】　设m＝(，)，n＝(cos θ，sin θ)， 则|a＋b|＝|·cos θ＋·sin θ| ＝|m·n|≤|m||n| ＝ · ＝， (a＋b)2≤＋. 8．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值． 【解】　由柯西不等式得 (x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2， x＋2y＋z＝1， 3(x2＋4y2＋z2)≥1， 即x2＋4y2＋z2≥. 当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立． 故x2＋4y2＋z2的最小值为. 9．在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形． 【解】　 如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l＝2(x＋) ＝2(1·x＋1×)． 由柯西不等式 l≤2[x2＋()2] (12＋12) ＝2·2R ＝4R. 当且仅当＝，即x＝R时等号成立． 此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形， 故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R. 教师备选 10．已知a1，a2，…，an都是正实数，且a1＋a2＋…＋an＝1. 求证：＋＋…＋＋≥. 【证明】　根据柯西不等式，得 左边＝＋＋…＋＋ ＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＋(an＋a1)]×[()2＋()2＋()2＋…＋()2＋()2]× ＝[()2＋()2＋…＋()2＋()2]×[()2＋()2＋…＋()2＋()2]×≥[(×)＋(×)＋…＋(×)＋(×)]2×＝(a1＋a2＋…＋an)2×＝＝右边． 原不等式成立．