【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 平均值不等式（选修）课后知能检测 新人教B版选修4-5.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 平均值不等式（选修）课后知能检测 新人教B版选修4-5 一、选择题 1．已知a，b，cR＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋与9的大小关系是(　　) A.＋＋≥9　　　　B.＋＋9 C.＋＋＝9 D．不确定 【解析】　a＋b＋c＝1，1≥3，abc≤，又a，b，cR＋，≥27. ∴＋＋≥3 ≥3＝9. 【答案】　A 2．当x0时，y＝3x＋的最小值为(　　) A. B．3 C. D．4 【解析】　y＝3x＋＝＋＋ ≥3 ＝3＝ . 当且仅当x＝，即x＝时，等号成立． 【答案】　A 3．若2ab0，则a＋的最小值是(　　) A．3 B．1 C．8 D．12 【解析】　a＋＝(a－)＋＋≥3＝3. 当且仅当a－＝＝，即a＝b＝2时等号成立． 【答案】　A 4．已知xR＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(nN＋)，则a的值为(　　) A．nn B．2n C．n2 D．2n＋1 【解析】　x＋＝，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A. 【答案】　A 二、填空题 图2－3－1 5．设a0，b0，称为a，b的调和平均．如图2－3－1，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均，线段________的长度是a，b的几何平均，线段________的长度是a，b的调和平均． 【解析】　在RtABD中，由射影定理易得到DC2＝ab，DC＝，故线段DC的长度为a，b的几何平均数．又因为ODC∽△CDE，所以＝，则DE＝＝，故线段DE的长度为a，b的调和平均数. 【答案】　DC　DE 6．已知x，y，zR＋，且2x＋3y＋5z＝6，则xyz的最大值为________． 【解析】　x，y，zR＋，xyz＝×2x×3y×5z≤×()3＝.当且仅当2x＝3y＝5z，即x＝1，y＝，z＝时等号成立． 【答案】　 三、解答题 7．证明：设n为正整数，则n[(n＋1)－1]1＋＋＋…＋. 【证明】　原不等式等价于： (n＋1) ＋1 ＝， ＝ ＝ ＝＝(n＋1).原式成立． 8．证明不等式＋＋…＋对一切正整数成立． 【证明】　， ＋＋…＋＋＋…＋， 即＋＋…＋. 9．(1)已知a，b是正常数，a≠b，x，y(0，＋∞)，求证：＋≥，并指出等号成立的条件． (2)利用(1)的结论求函数f(x)＝＋(x(0，))的最小值，指出取最小值时的x的值． 【解】　(1)由二元均值不等式得 (＋)(x＋y)＝a2＋b2＋a2·＋b2·≥a2＋b2＋2＝(a＋b)2， 故＋≥. 当且仅当a2＝b2， 即＝时上式取等号． (2)由(1)知：f(x)＝＋≥＝25. 当且仅当＝，即x＝时，f(x)取最小值． 且f(x)min＝25. 教师备选 10．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度V千米/时的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元． (1)把全程运输成本y元表示为速度V千米/时的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 【解】　(1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y＝a·＋bV2·＝S(＋bV)． 故所求函数为y＝S(＋bV)，V(0，c]． (2)由题意知S，a，b，V都是正数，故有S(＋bV)≥2S. 当且仅当＝bV，即V＝时等号成立． 若≤c，则当V＝时，全程运输成本y最小； 若c而V(0，c]，y＝S(＋bV)在(0，c]上为减函数． V＝c时，ymin ＝S(＋bc)． 综上可知，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度应为V＝；当c时，行驶速度应为V＝c.