【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 计算导数课后知能检测 北师大版选修2-2.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 计算导数课后知能检测 北师大版选修2-2 一、选择题 1．已知函数f(x)满足f′(1)＝2，则f(x)一定不是(　　) A．f(x)＝2x　　　　　　B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x＋1 【解析】　分别对选项求导，知(ln x)′＝，f′(1)＝1，不符合题意． 【答案】　C 2．已知函数f(x)＝2－x，则f′(x)＝(　　) A．－()xln 2 B．()xln 2 C．()xlog2e D．()x 【解析】　f(x)＝2－x＝()x，则f′(x)＝()xln＝－()xln 2. 【答案】　A 3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 【解析】　由题意知，直线l的斜率为4，且y′＝4x3，令4x3＝4，得x＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.故选A. 【答案】　A 4．已知曲线f(x)＝ex在点(a，f(a))处的切线的倾斜角为，则a的值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 【解析】　由题意f′(a)＝1，即ea＝1，故a＝0. 【答案】　A 5．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　) A．64 B．32 C．16 D．8 【解析】　求导得y′＝－x－(x＞0)，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝－a－，由点斜式得切线的方程为y－a－＝－a－(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的交点分别为(3a,0)，(0，)，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64. 【答案】　A 二、填空题 6．已知函数f(x)＝tan x，则f(x)的图像在点(，1)处的切线斜率等于________． 【解析】　f′(x)＝，则f′()＝2，即所求斜率为2. 【答案】　2 7．已知幂函数f(x)满足f′(2)＝12，则该幂函数可以是________． 【解析】　设幂函数f(x)＝xn，则f′(x)＝n·xn－1，由题意f′(2)＝n·2n－1＝12，n＝3符合题意． 【答案】　f(x)＝x3 8．函数y＝x2(x0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________. 【解析】　在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，当y＝0时，解得x＝. ak＋1＝，a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 【答案】　21 三、解答题 9．利用定义求函数f(x)＝x2＋2x的导函数f′(x)，并用f′(x)求f′(0)，f′(1)． 【解】　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－(x2＋2x)＝(2x＋2)Δx＋(Δx)2， ＝ (2x＋2＋Δx)＝2x＋2. f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2，f′(1)＝4. 10．求下列函数的导数． (1)y＝x； (2)y＝； (3)y＝－2(1－2cos2)sin. 【解】　(1)y＝x＝x， 故y′＝(x)′＝x－1＝x. (2)y＝＝x－， 故y′＝(x－)′＝－·x－＝－. (3)y＝－2(1－2cos2)sin＝2sin·cos＝sin x. 故y′＝(sin x)′＝cos x. 11．已知曲线f(x)＝x2上一点P0(x0，x)(x0≠0)，是否存在点P0，使曲线y＝f(x)在P0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为2？若存在，求出所有的点P0的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】　f′(x)＝2x， f′(x0)＝2x0. 故曲线y＝f(x)在点P0处的切线方程为y－x＝ 2x0(x－x0)． 令y＝0，得x＝； 令x＝0，得y＝－x，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝||·|－x| ＝||， 由题意||＝2，即|x|＝8， x0＝2或－2. 故存在点P0(2,4)或P0(－2,4)符合题意.