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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 数学归纳法课后知能检测 苏教版选修2-2 一、填空题1．若f(n)＝1＋＋＋…＋则当n＝1时f(n)为________．【解析】　当n＝1时(n)＝1＋＋＝【答案】　2．用数学归纳法证明“2＋1对于n≥n的正整数n都成立”时第一步证明中的起始值n应取值________．【解析】　∵当n＝1时＝1＋1由n＝2时＋1当n＝3时＋1当n＝4时＋1当n≥5时＋1恒成立．＝5.【答案】　53．用数学归纳法证明某不等式时其左边＝1－＋－＋…＋－则从“n＝k到n＝k＋1”应将左边加上________．【解析】　当n＝k(k≥1N*)时左边＝1－＋＋…＋－当n＝k＋1时左边＝1－＋－＋…＋－＋－比较以上两式发现从“n＝k到n＝k＋1”应将左边加上－【答案】　－4．数列{a满足a＝＋1＝1－则a＝________．【解析】　a＝1－2＝－1＝1＋1＝2＝1－＝以3为一个周期＝a1＝【答案】　5．用数学归纳法证明()n(a，b是非负实数N*)时假设n＝k命题成立之后证明n＝k＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________．【解析】　要想办法出现ak＋1＋b＋1两边同乘以右边也出现了要证的()＋1【答案】　6．用数学归纳法证明：n∈N＋2＋5＋1一定能被14整除时当n＝k＋1时对于3(k＋1)＋2＋5(k＋1)＋1应变形为________．【解析】　3(k＋1)＋2＋5(k＋1)＋1＝3＋2＋5＋1＝81×3＋2＋25×5＋1＝25(3＋2＋5＋1)＋14×4×3＋2【答案】　25(3＋2＋5＋1)＋14×4×3＋27．对于不等式＜n＋1(n∈N)，某学生证明过程如下：(1)当n＝1时＜1＋1不等式成立；(2)假设n＝k(k∈N)时不等式成立即＜k＋1(k∈N)，则当n＝k＋1时＝＜＝＝(k＋1)＋1所以当n＝k＋1时命题成立．上述证法的错误在于________．【解析】　在(2)中不是由n＝k命题成立推证n＝k＋1时命题成立．【答案】　没用归纳假设8．用数学归纳法证明：凸n边形对角线的条数f(n)＝(n－3)(n≥4)时(k＋1)与f(k)的关系是______．【解析】　假设n＝k(k≥4N*)时成立则f(k)＝(k－3)当n＝k＋1时多出一条边实际上增加的对角线条数为k＋1－2＝k－1条所以f(k＋1)＝f(k)＋k－1.【答案】　f(k＋1)＝f(k)＋k－1二、解答题9．设n∈N利用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3＋9是36的倍数．【证明】　(1)当n＝1时(1)＝(2＋7)×3＋9＝36结论显然成立．(2)假设n＝k时(k)能被36整除即f(k)＝(2k＋7)·3＋9能被36整除；那么当n＝k＋1时有f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3＋1＋9＝3[(2k＋7)·3＋9]＋18(3－1－1)．由于3－1－12的倍数故18(3－1－1)能被36整除．这就是说当n＝k＋1时(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切n∈N都有f(n)＝(2n＋7)·3＋9是36的倍数．10．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－(n≥2N*)．【证明】　(1) 当n＝2时左式＝＝右式＝1－＝因为＜所以不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2N*)时不等式成立．即＋＋…＋＜1－则当n＝k＋1时＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＜1－＝1－所以当n＝k＋1时不等式也成立．综上所述对任意n≥2的正整数不等式都成立．11．已知数列{a满足a＋1＝＝0.试猜想{a的通项公式并用数学归纳法证明．【解】　由a＋1＝＝0得＝＝＝＝＝＝＝＝归纳上述结果可得猜想a＝(n＝1)．下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n＝1时猜想显然成立．(2)假设当nk时猜想成立即a＝那么当n＝k＋1时＋1＝＝＝＝即当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2), 可知猜想a＝对所有正整数都成立即为数列{a的通项公式．