全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案.docVIP

全国高中数学联赛江苏赛区20年初赛试题班级 姓名一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分）1．当时，函数的最大值为 ，； 因为，，，， 根据的单调性结合绝对值的性质知：的最大值为18． 2．在中，已知，则 ，，所以． 3．从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组； 当时，有3，5，7；4，6，8两组；所以，一共有6种情形； 从6个元素中随机选取3个不同的元素共有：种情形；故概率为：． 4．已知是实数，方程的一个实根是是虚部单位，则的值为 ，即； 得． 5．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点若的面积为，则直线的斜率为 ，，； 将代入； 得：，，； 由，得：； 所以，；所以，而，所以． 6．已知是正实数，的取值范围是 ，所以，即的取值范围是． 7．在四面体中，，； 该四面体的体积为 点在底面上的射影为三角形的外心； 所以即为中点，故． 8．已知等差数列和等比数列满足：，，， 则 ，公比为，则； （4）减（3）得：； （3）减（2）得：； 上述两式相减：； （1）+（4）得：，（2）+（3）得：； 两式相减得，（6）； 从而，可得：；所以，； 所以，． 9．将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有种 解：将7个数分成3类： （1）的数为：27，48，75，有3个； （2）的数为47，71，有2个； （3）的数为37，55，有2个； 要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一类数， 第2和第6位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有3种排法， 三类数排到三类位置共有种，每一类位置各有种排法，故共有种排法． 10．三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为，所以； 又因为，所以； 所以的所有可能取值为：11，12，13，14，15； 当时，的取值为（9，11）（10，10），有2组； 当时，的取值为（7，12）（8，11）（9，10），有3组； 当时，的取值为（5，13）（6，12）（7，11）（8，10）（9，9），有5组； 当时，的取值为(3，14）（4，13）（5，12）（6，11）（7，10）（8，9），有6组； 当时，的取值为（1，15）（2，14）（3，13）┅（8，8）有8组 故满足要求的三元的个数为24． 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分） 11在中，角对应的边分别为，证明：（1）（2） 证法一：（余弦定理法） （1）； （2） 而， 所以等式成立． 证法二：（正弦定理法） （1）在中，由正弦定理得：， 所以 （2）由（1）可知：，同理有：； 所以； 即； 所以，． 12．已知为实数，，函数若； （1）求实数； （2）求函数的单调区间； （3）若实数满足，求证： 解：（1）由题意可得：； ，，，． （2）； 设；，在上递增； ，时，； ∴，在上递减； 当，，在上递增， 即的减区间为，增区间为． （3），； ； 所以命题成立． 13．如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点， ，线段交圆于另一点，为线段的中点求线段长的取值范围 证明：如图，设； ，于是， ∵为的中点，； 又，； 得，；，， 于是；． 14．设是正整数，是方程的两个根证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形 证明：由题设可知，，由于是正整数， 则中任两个数之和大于第三个数，且为正整数， 又； 故存在边长为（均为正整数）的直角三角形（为斜边）符合题设要求． 5 x y O B A F