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2013届高三数学（应用题） 1、（江苏省泰兴市第三高级中学2013届高三下学期期初调研考试数学试题 ）一化工厂因排污趋向严重,2011年1月决定着手整治.经调研,该厂第一个月的污染度为,整治后前四个月的污染度如下表; 月数 1 2 3 4 污染度 60 31 13 0 污染度为后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式:,,,其中表示月数,分别表示污染度.(参考数据:)(Ⅰ)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由; (Ⅱ)如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60,若以比较合理的模拟函数预测,该厂最晚在何时开始进行再次整治? ． （江苏省扬州中学2013届高三下学期开学质量检测数学试卷）如图所示,有一块边长为的正方形区域,在点处有一个可转动的探照灯,其照射角始终为弧度(其中点分别在边上运动),设,.(1)试用表示出的长度,并探求的周长;(2)求探照灯照射在正方形内部区域的面积的最大值. 3、某中学校园内有一块四分之一圆面的草坪AMN（图 1），其中AM=AN=4m， ∠MAN=90°，今年春节整治校园环境时，为美观起见，学校计划将原有草坪扩大，具体实施方案是：从圆弧上一点P作圆弧的切线BD，分别与AM,AN的延长线交于B,D并以AB,AD为邻边构造矩形ABCD，再以C为圆心制作一块与AMN形状相同的草坪，构成矩形绿色地ABCD（图2） 设AB长为xm，AD长为ym，矩形ABCD面积为S,求S的最小值； 若由于地形条件限制，使得矩形一边AB的长度不能超过5m，求此时矩形绿地ABCD占地面积的最小值 4、 请你设计一个包装盒。如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示问题的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒。点在边上，是被切去的一个等腰三角形斜边的两个端点。设（）。 （1）某广告商要求包装盒的侧面积最大，试问应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高和底面边长的比值。 【参考答案】 (Ⅰ) 由此可得更接近实际值,所以用模拟比较合理 (Ⅱ)因在上是增函数,又因为 这说明第一次整治后有16个月的污染度不超过60, 故应在2012年5月起开始再次整治 (1)设, ,,,,. ∴,为定值.(2). 又函数在上是减函数,在上是增函数,∴,∴. 所以探照灯照射在正方形内部区域的面积的最大值为. 包装盒，， （1）），所以x=15时最大（2），得（舍），或 当时，递增；当时，，递减. 所以当时，V. 由题设的实际意义可知时，V此时包装盒的高与底面边长的比值为（1）x=15时包装盒侧面积Scm)最大（2）时包装盒的容积Vcm)最大，包装盒的高与底面边长的比值为 1 A B C D P Q x x D C F E B A P