直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分-天津一中.docVIP

科目：数学 年级：高二 教师：贾鲁津 2001—2002第一学期第十一周 直线复习课 直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分。这一章基本概念如直线的倾斜角与斜率，基本公式如斜率公式、两直线的夹角公式，直线方程的各种形式以及对两直线平行、垂直的判断，这些都是解析几何重要的基础内容，都应达到熟练掌握，灵活运用的程度。 本次课我们将对前三节学习的内容给予一个复习与回顾。 例1 求过下列两点的直线ｌ的斜率ｋ，并确定其倾斜角的取值范围． (1)点A（2，1）和B（m，2） (2)点A（0，）和B（ 解：（1） （2） 例2 过点M(0,-3)的直线l与以点A(3,0) B(-4,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。 解：直线l过A(3,0)时，就是直线MA，倾斜角α1为最小 [变题]若已知B坐标改为(1,-4),则直线l过点B(1,-4)时,就是直线MB,倾斜角α2为最大 例3 求下列直线的方程 (1)过点A（0，2），它的倾斜角的正弦为 (2)过点A（2，1），它的倾斜角是直线1:3x+4y+5=0的倾斜角的一半 (3)过点A（2，1），和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点. 解：（1）设直线的倾斜角为则 由斜截式得 即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0 （2）设直线和1的倾斜角分别为 则 又 解得 由点斜式得y-1=3(x-2) 即3x-y-5=0 （3）设直线的方程为（x-2y-3）+(2x-3y-2)=0 将A（2，1）代入上式，得=-3 备注：这里我们补充一下直线系知识. 设直线1: A1x+B1y+C1=0 直线2: A2x+B2y+C2=0 其交点P(xo,yo) 则过点P的直线方程为 A1x+B1y+C1+( A2x+B2y+C2)=0 （不包含2） 因为此种形式是关于x,y的二元一次方程，确实可表示一条直线.而P（xo,yo） 的坐标又适合方程（点P在1上, A1xo+B1yo+C1=0;点P在2上,A2xo+B2yo+C2=0；推出 A1xo+B1yo+C1+ (A2xo+B2yo+C2=0)，即P点在直线上. 使用此直线系方程，可以省去求两直线的交点，减少计算量.又如: 例4 求经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两轴上的截距相等的直线方程. 设过两直线交点的直线系方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0 ∴(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0 ∵截距相等 ∴6-7λ=0 解:依题意设Q（x1，y1）M(x2,0)由题设可知x10，y10 x20,且x1≠x2（否则为直角三角形）y1≠2(否则PQ与x轴平行) 例6 直线l经过点P(-4,3)与x轴、y轴分别交于A、B两点，且AP:PB=3:5，求直线l的方程. 解1：我们考虑设直线l的斜率为k,由题设可设，l方程为y-3=k(x+4) 解2：设A（a,0）B(0,b) 例7．已知：直线与两直线x-3y+10=0,2x+y-8=0交于A、B，若线段AB的中点是 （0，1） 求：直线的方程. 解：设由P（0，1）是线段AB的中点得B. 将点B的坐标代入方程2x+y-8=0,得=2,则A（－4，2） 由两点式推出方程为：x+4y-4=0 例8．已知:中，顶点A（0，1），AB边上的高线CD的方程为x+y-2=0,AC边的中线BM的方程为3x+y-5=0,求顶点B,C的坐标. 解：直线AB过（0，1），且和直线CD：x+y-2=0垂直，则其斜率为1，其方程为x-y+1=0 x-y+1=0 解方程组 得B（1，2） 3x+y-5=0 设C（t, 2-t），AC的中点为在BM上， 代入3x+y-5=0,得t=,故C（） 例9 当m,n为何值时，两直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0互相垂直？ 解:即m＝0，n为任意实数时，两直线互相垂直. 例10 两直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0的交点在第四象限，求k的范围. 解：将直线1：y=kx+2k+1化为y-1=k(x+2)，此为过定点（－2，1）的直线系，将直线2: x+2y-4=0,化为截距式. 由图可知，直线1在直线PO与PA之间摆