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統計學(上)－常態分配 開南大學 教師：陳裕達 博士 本章內容 常態分配的意義判斷 常態分配的型態 標準常態機率分配 非標準常態機率分配 研判母體與編組過程之常態性 中央極限定理 常態分配的意義判斷 常態分配(standard nomal distribution) 連續隨機變數之分配呈現鐘型分配之狀態 常態分配的判斷 枝葉圖及箱型圖等 常態分配的型態 影響常態分配的因素 δ決定鐘型分配的高度(δ越大分佈越扁平) μ決定鐘型分配的位置(μ越大越向右偏移) 又可區分為”標準常態分配”與”非標準常態分配” 標準常態機率分配 標準常態分配的機率 μ=0 且 δ=1 時的常態分配 此時可利用附表A.2(p.776)搭配z值求得其所包含的機率 Example 例題P.204 非標準常態機率分配 非標準常態分配的機率 當μ≠0 且 δ ≠ 1 時的常態分配 此時必須先把非標準常態分配轉換成標準常態分配後，才可利用附表A.2(p.776)搭配z值求得其所包含的機率 轉換方式 z=(χ－ μ) / δ 非標準常態機率分配 Example 研判母體之常態性 決定母體資料之常態性 使用至少40個以上的觀測值，建立一直方圖 研判該直方圖之形狀，若該直方圖大致上為一鐘形，則可推論母體之分配為常態 研判編組過程之常態性 決定編組過程之常態性 首先用控制圖測試其穩定性 一穩定之編組過程必須全部通過下列三項測試： 目測控制圖，並試著去檢視有沒有任何不是隨機模式的情形 利用連八法則。若連續8個點皆在平均數之上或之下時，則該編組過程不是穩定過程 利用控制界限，若有任何之樣本點超過控制上限μ+3α或低於控制下限μ+3α時，則該編組過程不是穩定過程。（若無平均數μ之值，則用樣本平均數χ為其觀察集中值，故其控制界限為μ+3α及μ-3α） 研判母體與編組過程之常態性 P.226 中央極限定理 意涵 中央極限定理(central limit theorem) 當樣本數越多時(n30)，則其平均數之分配越趨向於常態分配 中央極限定理 範例 假設現在想知道開南7-11結帳時間的情況，因此我們連續30天(30組資料)每天隨機挑選10位顧客(每組資料有10個數值)記錄其等候結帳的時間(1~9分鐘)，因此總共得到300位顧客(n=300)等候結帳的時間，並把每天的平均等候時間列出如表5.1 中央極限定理 範例 中央極限定理 當母體數目無限時(N=∞) 中央極限定理 如果已知： 隨機變數χ呈平均數μ及標準差δ之任意分配 自母體中隨機抽出大小為n之樣本 可得結論： 當樣本數增加時，所有可能之樣本平均數χbar之分配會接近常態分配 樣本平均數之平均數(μχbar)為μ 樣本平均數之標準差(δχbar)為δ/(n)1/2 中央極限定理 當母體數目無限時(N=∞) 母體數目無限(N=∞) 在抽樣下一個樣本前，將已抽出的樣本再放回 例如從十張牌裡抽一張牌，再放回重抽，雖然只有十張牌，卻可視為母體無限大 中央極限定理 範例 樣本平均數之平均數？ 樣本平均數之平均數為μ(母體平均數) ∵ 等候時間(1~9分鐘)皆有相同的發生機會 ∴ μχbar=μ=(1+2+3+…+9)/9=5.0(分鐘) 樣本平均數之標準差？ 樣本平均數之標準差為δ/(n)1/2 δ= =(Σ(χ-5.0)2/9)1/2=2.58 δχbar= δ/(n)1/2=2.58/(10)1/2=0.82 中央極限定理 當母體數目有限時(N30∞) 母體數目有限(N30∞) 母體數目可數時 母體校正因子 當母體數目為有限時，樣本平均數之標準差(δχbar)必須納入母體校正因子，以求得其值 只限於n0.05N時(樣本數母體數5%時才需採用母體校正因子) 中央極限定理 範例 * *