设(x,y).pptVIP

例4 设(X,Y)服从N(1,0,32,42,-0.5)分布，Z=X/3+Y/2 1)求Z的概率密度 2)求X与Z的相关系数 3)问X与Z是否相互独立？为什么？ 六种常用随机变量的期望与方差 小结 3.6 大数定律与中心极限定理3.6.1 大数定律一.依概率收敛 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给?0, 使得 则称{Xn}依概率收敛于X. 可记为 切比雪夫不等式 如 意思是:当 a 而 意思是: 时,Xn落在 内的概率越来越大. ,当 二.几个常用的大数定律 1.切比雪夫大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望?，及方差?20，则 即若任给?0, 使得 证明:由切比雪夫不等式 这里 故 2.伯努里大数定律 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则 证明:设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 由切比雪夫大数定理 3. 辛钦大数定律 若{Xk,k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列, EXk=? ?, k=1, 2, … 则 推论:若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列, E(X1k)= ?, 则 3.6.3. 中心极限定理一.依分布收敛 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连续点，有 则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为 二.几个常用的中心极限定理 1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=??，DXk= ?2 ?，k=1, 2, …, 则{Xn}满足中心极限定理。 根据上述定理，当n充分大时 例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？ 解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布. 由中心极限定理 设随机变量?n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0p1)的二项分布，则 2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace) 证明:设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 由中心极限定理,结论得证 例2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？ 解 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n, p), 其中 n= 10000，p=0.6%， 设Y表示保险公司一年的利润， Y=10000?12-1000X 于是由中心极限定理 (1)P{Y0}=P{10000?12-1000X0} =1?P{X?120} ?1 ? ?(7.75)=0; P{Y60000}=P{10000?12-aX60000} =P{X?60000/a}?0.9; （2）设赔偿金为a元，则令 由中心极限定理,上式等价于 1. E(c)=c,c为常数; 2。E(cX)=cE(X), c为常数; 四.数学期望的性质 证明:设X~f(x),则 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y); 证明:设(X,Y)~f(x,y) 4. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y). 证明:设(X,Y)~f(x,y) 例2.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数 解:设Xj为第j组的化验次数， Xj Pj 1 101 X为1000人的化验次数，则 例3 若X~B(n,p),求E(X) 解:设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 EX1 设随机变量X??N(0,1)，Y?U(0,1)，Z?B(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量 U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望 EX2 设随机变量 相互独立，且均服从 分布，求随机变量 的数学期望 答: 答: 3.2 方差一. 定义与性质 方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。 如何定义？ 1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称 E[X-E(X)]2 为r.v. X的方差，记为D(X),或Va