数学奥林匹克初中训练题-同桌100学习网.docVIP

数学奥林匹克初中训练题 第一试 一、选择题(每小题7分，共42分) 1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为( ). (A)35 (B)40 (C)81 (D)84 2.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有( )个. (A)50 (B)90 (C)99 (D)100 3.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，且=8a-3.则a的值是( ). (A)1 (B)2 (C)0或 (D) 4.若不等式ax2+7x-12x+5对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是( ). (A)2≤x≤3 (B)2x3 (C)-1≤x≤1 (D)-1x1 5.在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于( ). (A) (B) (C) (D) 6.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有( )个可以是这枚棋子出发的小方格. (A)6 (B)8 (C)9 (D)10 二、填空题(每小题7分，共28分) 1.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB= . 2.设a、b、c为整数，且对一切实数x，(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c) 恒成立.则a+b+c的值为 . 3.如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP= 1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为 . 4.从1， 2，…， 2 006中，至少要取出 个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2 008. 第二试 一、(20分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值. 二、(25分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证: (1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形. 三、(25分)在中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不大于x的最大整数)?数学奥林匹克初中训练题参考答案 第一试 一、1.D. 设BC=a，AC=b.则 a2+b2=352=1 225.①又Rt△AFE∽Rt△ACB，则FE/CB=AF/AC，. 故12(a+b)=ab. 由式①、②得(a+b)2=1 225+24(a+b).解得a+b=49(a+b=-25舍去).所以，周长为84. 2.C. 因为n=(10-1)+(100-1)+…+(100…0(99个0)-1)=11…1(99个1)0-99=11…1(97个1)011， 所以，n的十进制表示中，数码1有97+2=99(个). 3.D. 由Δ=36a2+4a0，得a0或a-1/9.由题意可设f(x)=x2+6ax-a=(x-x1)(x-x2). 则(1+x1)(1+x2)=f(-1)=1-7a， (1-6a-x1)(1-6a-x2)=f(1-6a)=1-7a. 所以， =8a-3. 解得a=1/2或a=0(舍去). 4.B. 由题意知，不等式ax2+7x-12x+对-1≤a≤1恒成立，即关于a的不等x2a+5x-60对-1≤a≤1恒成立.令g(a)=x2a+5x-6.则g(-1)=-x2+5x-60，g(1)=x2+5x-60.解得2x3. 5.A. 如图，联结PQ.由题设得BC=1/2 ，AC= /2，∠QAT=90°， ∠QCP=150°，P、B、R三点共线. 因为S△AQT= AT·AQ= AT·AC=AT， 而S△ART/S△ARB=AT/AB，所以，S△ART=AT=S△AQT.从而，QT=RT. 于是，S△PRT= S△PQR= (S△ABC+S△ABR+S△BCP+S△CAQ+S△CPQ-S△AQR)=. 6.B