二十届华罗庚金杯数学邀请赛决赛选题-平行线教育.docVIP

二十届华罗庚金杯数学邀请赛决赛选题 初一解答 一、填空题 计算2048= . 答案：114686 解答：2048 =2048 =2048 =2048 =114686. 一堆彩球只有红、黄两色. 先数出的50个球中有49个红球, 此后, 每数出8个球中都有7个红球, 恰好数完. 已数出的球中红球不少于90%. 这堆彩球数目最多有 个. 考察内容：一元不等式的应用. 答案：210. 理由：设这堆球共个, 则, 解得 若正整数, , , 满足 , 则a+b+c+d最小时, =______, =______. 答案: 5 , 7. 解答1:首先证明2个准备命题。 现在解答本问题。 解法2 由题设 所以， 1） 2） 同样有， 3） 4） 所以，29是a+b+c+d的最小值,此时c=5,d=7.(a=7,b=10) 圆形跑道上等距插着2015面旗子, 与同时同向从某旗子出发, 当与再次同时回到出发点时, 跑了23圈, 跑了13圈, 不算起始点旗子位置,则 有次正好在旗子位置追上. 答案： 解答：根据题意, 与的速度之比为.设跑道的长度为2015, 旗子的速度为23m, 的速度为13m, 第次追上的时刻为, 则有：, . . 追上时, 跑的距离是：, 按题意, , 且当k=2,4,6,8,10时, 跑的距离是整数, 5个追及点分别在5个旗子处k=2,4,6,8时, 不是2015的倍数, 故不在起始点的旗子处. 当时, , 此时回到了起始点, 因此不算起始点位置, 中间有4次甲在旗子处追上乙. 现有2015张卡片,每张写有数字+1或-1.如果每次指着其中的三张卡片问：“这三张卡片所写的数字的乘积是多少？”并得到正确回答.那么, 至少问 次, 才能确定这2015张卡片所写的数字的乘积. 答案：673 下面说明问673次, 可以解决.先问670次, 解决2010张卡片上数的乘积.然后再将剩余的卡片分别问, , 的乘积, 而 就可得到这5张卡片上的数的乘积.最后就可以得到这2015张卡片背面所写数的乘积. 设是的最大值是 , 最小值是 .（是个三位数） 解答：； 所以 另一方面， 原解答 （1）考虑到 . 的值不可能大于. 若不对, 设 即 极端的情况, 可取, 此时有 这是不成立的. 所以, 符合条件的最大值是. （2）考虑到, 的值不可能小于.若不然, 设 可推出 , 则, 不可能. 所以, 符合条件的最小值是. ---------------- 如右图, 正六边形中两个等边三角形的面积都为30平方厘米, 那么正六边形的面积是______平方厘米． 答案：135 解答：如图：连AD设AD长=2h,这所求面积正六边形由6个边长为h的正三角形组成。 设边长为h的正三角形的面积=s,高=t.由勾股定理 另一方面，h是面积=30的正三角形的高，所以， -------- 原来的题解。 记原正六边形为, 两个等边三角形为, . 做正六边形, 则为正六边形中心, 并且, , , 是等边三角形, 且与, 的边长相等. 由于四边形、、、、都是菱形, 根据平行四边形的性质（其对角线把平行四边形分成面积相等的两部分）, 则, , , , , 的面积都相等. 根据四边形为菱形, 则（其中为与的交点）,所以为正六边形的中心, 则=正六边形的边长, 并且. 根据, 为等边三角形, 则. 根据, 为等边三角形, 则. 所以, 再由, 可以推出在菱形的对角线上, 并且, 因为它们都是面积相等且边长相等的两个等边三角形的高. 同样的道理可以推出在菱形的对角线上, 并且. 所以. 因此三角形, , , 是等边三角形, 且边长相等. 由是三角形三边的中点, 知道, , , 的面积等于三角形三边的, 而三角形的面积=正六边形面积=平方厘米. 所以正六边形为的面积=面积=平方厘米. ----------- 从一副扑克牌中抽走一些牌一副扑克牌有54张牌, 其中52张是正牌, 另2张是副牌（大王和小王）. 52张正牌又均分为13张一组, 并以黑桃、红桃、草花、方块四种花色表示各组, 每组花色的牌包括从1-10（1通常表示为A）以及J、Q、K标示的13张牌. 答案：34, 16 解答1：同一花色的两张牌的点数之和不能=15, 这些牌的点数为1与0, 另外的12张牌凑成6对点数之和为15, 我们叫它卡片对, 这样同花色点数和为15的卡片对总共有24对. 必须留下19张以上牌。抽走牌数=34. 从24卡片对