24.1.124.1.2 圆 垂直于弦的直径 原卷版.docx

24.1.124.1.2圆垂直于弦的直径

【考点归纳】

【知识梳理】

知识点01圆的基础知识

（1）圆的定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.此外，圆心为0，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.如图中的AB，CD。

(3)直径：经过圆心的弦叫做直径.如图中的AB。

(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，筒称弧.以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”

圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示，如图中的CAB；小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC，BD。

(5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

(6)等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

知识点二：垂径定理及其推论

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如下图，AB是直径且CP=PD，则CD⊥AB，且AC=

【题型探究】

题型一：圆的基本概念

【例1】．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列命题：正确的是（????）

①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧．③能够完全重合的两条圆弧是等弧．④长度相等的弧所对的弦相等．

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中正确的是（???）

①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧．

A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥

【变式2】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（???）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型二：弦的条数及最长的弦问题

【例2】．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式1】．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（????）

??

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式12】．（23-24九年级下·全国）如图，在中，弦的条数是（????）

A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确

题型三：垂径定理

【例3】．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为．

【变式1】．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为．

【变式2】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为．

题型四：垂径定理求平行弦问题

【例4】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为．

【变式1】．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是．

【变式2】．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为cm．

题型五：垂径定理的推论的理解

【例5】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题正确的是（???）

A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧

C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦

【变式1】．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（???）

①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．

A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④

【变式2】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列关于圆的说法不正确的是（????）

A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦

B．平分弦的直径平分弦所对的弧

C．垂直平分弦的直径必定经过圆心

D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧

题型六：垂径定理的推论应用

【例6】．（2022