13.2勾股定理的应用（基础篇）练习2025-2026学年华东师大版 数学八年级上册-解析版.docx

13.2勾股定理的应用

（30分提至70分使用）

义览概讲

义

览

概

讲

课索探新

课

索

探

新

常见问题：

1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。

2、“通过问题”。如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题。

3、“干扰问题”。如“台风影响”、“噪音影响”等问题。

4、阴影面积问题。

5、作图中的作，，，等问题。

型习练题

型

习

练

题

求最短路径

1．如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（????）

??

A．厘米 B．120厘米 C．厘米 D．厘米

【答案】D

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．

根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可．

【详解】解：如图所示，将正方体展开，则，，

∴由勾股定理得，

∴需要爬行的最短路程是厘米，

故选：D．

??

2．如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为5，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（）

A．4 B． C． D．13

【答案】B

【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．将圆柱展开根据图像得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案．

【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离，

∵圆柱体的底面圆周长为6，高为5，

∴，

在中，由勾股定理，得：，

故选：B．

3．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（??）

A．4 B．5 C． D．6

【答案】C

【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段最短得到最短线段．将圆柱展开，根据图形得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案．

【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段最短，连接，即为最短距离，

∵圆柱体的底面圆周长为，高为，

∴，

在中，由勾股定理，得：，

故选：C．

4．如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点处，其中离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路程问题，将圆柱侧面展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁经过的最短路程，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁经过的最短路径是解题的关键．

【详解】解：将圆柱侧面展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁经过的最短路程，

由题意可得，，，

∴，

∴蚂蚁经过的最短路程为，

故选：．

5．如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点爬到盒顶的点，则蚂蚁要爬行的最短路程是（???）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查立体图形表面最短路径问题，运用转化思想，将长方体侧面展开为平面，利用勾股定理计算路径长度，关键是正确展开侧面并确定直角边长度，易错点是展开方式错误导致直角边长度计算失误；解题思路：将长方体不同侧面展开，分别用勾股定理计算路径长度，比较后得出最短距离即可．

【详解】解：将“点所在的面”与“顶点所在的面”展开成平面，

情况1：如图，

水平方向的长度为，

垂直方向的高度为，

路径长，

情况2：如图，

水平边长为，

竖直边长为，

路径长，

∵，

∴蚂蚁要爬行的最短路程是，

故选：D．

求梯子滑落高度

6．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（???）

A．4米 B．6米 C．8米 D．15米

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键．

根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题．

【详解】解：由题意知米，米，米，

在直角中，斜边，

米，

已知米，则米，

在直角中，

米，

米．

故选：C．

7．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（???）

A．20米 B．16米 C．12米 D．24米

【答案】A

【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设米，得到米，根据勾股定理得到，结合梯子的长度不变得到，列出方程进行求解即可．

【详解】解：由题意，米，，，

设米，则：米，

在和中，由勾股定理，得：，

∴，即：