第三章 3.2　导数与函数的单调性.pptxVIP

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;;1．函数的单调性与导数的关系

一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)内，如果______________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果______________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．

2．利用导数判断函数f(x)单调性的步骤

第1步，确定函数f(x)的定义域和导数f′(x)；

第2步，求出导数f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．;1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．

2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解．

;1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.()

(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．()

(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增．()

(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数．()

;2．（人教A版选择性必修第二册P87T3改编）函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是()

A．f(x)在(－3，1)上单调递增

B．f(x)在(1，3)上单调递减

C．f(x)在(2，4)上单调递减

D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增

解析：当x∈(－3，0)时，f′(x)0，故f(x)在(－3，0)上单调递减，当x∈(0，2)时，f′(x)0，故f(x)在(0，2)上单调递增，当x∈(2，4)时，f′(x)0，故f(x)在(2，4)上单调递减，当x∈(4，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(4，＋∞)上单调递增，显然C正确，其他选项错误．故选C.;3．（人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T2改编）函数f(x)＝x3＋2x2－4x

的单调递增区间是__________________________．

;4．（人教A版选择性必修第二册P89T2改编）若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是____________．

解析：由题知f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.

;;考点1不含参函数的单调性;;D;(2)（多选）（2024·山西晋城一模）若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则()

A．函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞）上纯粹递增

B．函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增

C．函数f(x)＝sinx－2x在[0，1]上纯粹递减

D．函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减

;解析：若f(x)＝x2－2x，则f′(x)＝2x－2，因为f′(1)＝0，所以A错误．若f(x)＝x3－2x，则f′(x)＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f′(x)0恒成立，所以B正确．若f(x)＝sinx－2x，则f′(x)＝cosx－20，所以C正确．若f(x)＝ex－3x，则f′(x)＝ex－30在[0，2]上不恒成立，所以D错误．故选BC.;考点2含参函数的单调性;;【对点训练2】已知曲线y＝f(x)＝aex－x＋b在x＝0处的切线过点(1，a2＋2a－1).

(1)试求b－a2的值；

解：函数f(x)＝aex－x＋b，求导得f′(x)＝aex－1，则f′(0)＝a－1，而f(0)＝a＋b，因此曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－a－b＝(a－1)x，即y＝(a－1)x＋a＋b.

依题意，a2＋2a－1＝a－1＋a＋b，所以b－a2＝0.

;(2)讨论f(x)的单调性．

解：由题意知函数f(x)＝aex－x＋a2，其定义域为R，求导得f′(x)＝aex－1.

当a≤0时，f′(x)0，f(x)在R上单调递减；

当a0时，由f′(x)＝aex－1＝0，得x＝－lna，

当x－lna时，f′(x)0，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，

当x－lna时，f′(x)0，f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增．

所以当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a0时，f(x)在(－∞，