第六章 6.5　数列求和.pptxVIP

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;;1．特殊数列的求和公式

;2．数列求和的几种常用方法

(1)分组求和法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

(2)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．

(3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．;(4)倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．;常见的裂项公式

;1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和．()

;B;;考点1分组求和法与并项求和法;(2)求{bn}的前2n项和S2n.

【解】由(1)知，an＝2n＋3，b2n－1＝a2n－1－6，b2n＝2a2n，

所以S2n＝(b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋b6＋…＋b2n)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1－6n)＋2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝

;;2．并项求和法常见题型

(1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和．

(2)数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和．

;【对点训练1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝5an－2.

(1)求证：{an}是等比数列，并求其通项公式；

;考点2错位相减法求和;(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

【解】由(1)知bn＝(－1)n-1·n·4·(－3)n-1＝4n·3n-1，

所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n-1，

故3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，

两式相减得，－2Tn＝4＋4×31＋4×32＋…＋4×3n-1－4n·3n＝4＋;;(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.

;考点3裂项相消法求和;;【对点训练3】（2024·福建龙岩三模）若数列{an}是公差为1的等差数列，且a3＝2，点(an，bn)在函数f(x)＝3x的图象上(n∈N*)，记数列{bn}的前n项和为Sn.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

解：由a3＝2，{an}的公差d＝1，得a1＝0，

∴an＝a1＋(n－1)×d＝n－1，

∵点(an，bn)在函数f(x)＝3x的图象上(n∈N*)，∴bn＝3an＝3n-1.

;考点4倒序相加法;(2)求数列{an}的通项公式．

;;;1．（15分）在数列{an}中，a1＝5，且an＋1＝2an－1(n∈N*).

(1)求{an}的通项公式；

解：由题意得an＋1－1＝2an－2＝2(an－1)，a1－1＝4，

∴{an－1}是首项为4，公比为2的等比数列，

∴an－1＝4·2n-1＝2n+1，

∴an＝2n+1＋1，n∈N*.;(2)令bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.

;2．（17分）（2024·辽宁沈阳三模）设公差不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

;3．（17分）（2024·陕西渭南三模）已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝3，S4＝15.

(1)求数列{an}的通项公式；

解：设数列{an}的公比为q(q0)，∵a1＋a2＝3，S4＝15，∴a3＋a4＝a1q2＋a2q2＝q2(a1＋a2)＝S4－(a1＋a2)＝12，

即3q2＝12，∴q＝2（q＝－2舍去），

∴a1＋a2＝a1＋2a1＝3，即a1＝1，∴an＝2n-1.

;(2)若数列{bn}满足bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：∵an＝2n-1，∴bn＝2nan＝n·2n.

∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n-1＋n·2n，

2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，

;解：函数f(x)＝(x＋1)3＋1的图象，可看成曲线y＝x3向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．

因为曲线y＝x3的对称中心为(0，0)，

所以函数f(x)＝(x＋1)3＋1的图象的对称中心为(－1，1)，

所以f(x)＋f(－2－x)＝2.;解：设数列{cn}公比为q(q0)，

∵a2＝2c1－1＝3，∴d＝a2－a1＝1，

∴an＝n＋1，∴bn＝2n，

;6．（17分）（2024·甘肃定西一模）在n个数1，2，…，n(n∈N，n≥2)构成的一个排