第六章 6.3　等比数列.pptxVIP

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;;1．等比数列的概念

(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的__都等于同一个____，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，公比通常用字母q表示(q≠0)，即_____＝q(n∈N*)，或

_____＝q(n∈N*，n≥2).

(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝____．;a1qn-1;3．等比数列的性质

(1)与项有关的性质

①在等比数列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).

③在公比为q的等比数列{an}中，取出项数成等差数列的项ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可组成一个等比数列，公比是qd.

④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积．;

⑥当{an}是公比为q(q0)的正项等比数列时，数列{lgan}是等差数列，首项为lga1，公差为lgq.;(2)与和有关的性质

①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk（q≠－1，或q＝－1且k为奇数）.

;4．等比数列的单调性

(1)当a10，q1或a1＜0，0q1时，等比数列{an}是递增数列．

(2)当a10，0q1或a1＜0，q1时，等比数列{an}是递减数列．

(3)当q＝1时，等比数列{an}是一个常数列．

(4)当q0时，等比数列{an}是一个摆动数列．;;1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．()

(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()

(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．()

;2．（人教A版选择性必修第二册P37T1改编）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为2，且S4＝15，则a1＝__．

解析：依题意，a1＋a2＋a3＋a4＝15，故a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15，解得a1＝1.

;3．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＋a3＝6，则S6＝____．

;4．（人教A版选择性必修第二册P37例9改编）设等比数列{an}的前n项和是Sn.已知S3＝30，S6＝120，则S12＝__________．

;;考点1等比数列基本量的计算;(2)（多选）（2024·江西南昌三模）已知{an}是单调递减的等比数列，若a2＝2，前3项和S3＝7，则下列说法中正确的是()

A．a1＝4 B．q＝3

C．an＝2n-1 D．Sn＝8－23-n

;;【对点训练1】（2024·全国甲卷文）记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2Sn＝3an＋1－3.

(1)求{an}的通项公式；

;(2)求数列{Sn}的前n项和．

;考点2等比数列的证明;(2)是否存在正整数m，使得对任意的正整数n，am＋an＝am＋n总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

;化简得(－1)m＋(－1)n＝1＋(－1)m＋n(*).

可知当m为正偶数，即m＝2k，k∈N*时，(*)式对任意的正整数n总成立．

因此，存在正整数m，当m＝2k，k∈N*时，对任意的正整数n，am＋an＝am＋n总成立．;;(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an＝cqn-1（c，q均为非零常数，n∈N*），则{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－k（k为常数，且k≠0，q≠0，1），则{an}是等比数列．;【对点训练2】（2024·贵州毕节一模）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2an＝3n－5，n∈N*，设bn＝an－n＋2.

(1)求证：数列{bn}是等比数列；

解：证明：因为an＋1＋2an＝3n－5，n∈N*，

所以an＋1－(n＋1)＋2＋2an＝3n－5－(n＋1)＋2，

所以an＋1－(n＋1)＋2＝－2an＋2n－4，

即an＋1－(n＋1)＋2＝－2(an－n＋2)，所以bn＋1＝－2bn，

;(2)求数列{an}的前n项和Sn.

解：由(1)可知，bn＝b1·(－2)n-1＝2×(－2)n-1，

由于an＝bn＋n－2，所以an＝2×(－2)n-1＋n－2，

所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2×(－2)0＋(－1)＋2×(－2)1＋0＋2×(－2)2＋1＋…＋2×(－2)n-1＋n－2＝2×(－2)0＋2×(－2)1＋2×(－2)2＋…＋2×(－2)n-1＋[(－1)＋0＋1＋…＋(n－2)]＝2×[(－2)0＋(－2)1＋(－2)2＋…;考点