第六章 6.6　数列的综合交汇问题.pptxVIP

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;;考点1数列与不等式、函数的综合问题;(2)求证：数列{an}是等比数列，并求an；

;;考点2数列的实际应用问题;现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案，

方案一：一次性付全款25万元；

方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完．

(1)已知一年期存款的年利率为2.5%，试讨论两种方案哪一种更好？（仅考虑“现值”或“终值”）

【解】方法一（从终值来考虑）若全款购置，则25万元10年后的价值为25×(1＋2.5%)10≈32.00（万元），

若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为S＝3×(1＋2.5%)10＋3×(1＋2.5%)9＋…＋3×(1＋2.5%)≈34.44（万元）.

因此，方案一更好．;(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第(1)问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获全部租金的终值．（精确到百元）

参考数据：(1＋2.5%)10≈1.28.

【解】由题意，设第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元，

T＝2×(1＋2.5%)10＋2.1×(1＋2.5%)9＋…＋2.9×(1＋2.5%)，

记1＋2.5%＝q，an＝－0.1n＋3，则

T＝a1q＋a2q2＋…＋a9q9＋a10q10，

qT＝a1q2＋a2q3＋…＋a9q10＋a10q11，;;(1)求{an}的通项公式．

;考点3数列的新定义问题;(2)设数列{cn}是项数为2k－1（k∈N*且k≥2）的“对称数列”，且满足|cn＋1－cn|＝2，记Sn为数列{cn}的前n项和．

①若c1，c2，…，ck构成单调递增数列，且ck＝2025.当k为何值时，S2k－1取得最大值？

②若c1＝2024，且S2k－1＝2024，求k的最小值．

【解】①由c1，c2，…，ck是单调递增数列，数列{cn}是项数为2k－1的“对称数列”且满足|cn＋1－cn|＝2，

可知c1，c2，…，ck构成公差为2的等差数列，ck，ck＋1，…，c2k－1构成公差为－2的等差数列，;因为数列{cn}是“对称数列”，所以S2k－1＝c1＋c2＋…＋c2k－1＝2(c1＋c2＋…＋ck－1)＋ck≥(2k－1)c1－2(k－2)(k－1)－2(k－1)＝

－2k2＋4052k－2026，

因为S2k－1＝2024，故－2k2＋4052k－2026≤2024，

解得k≤1或k≥2025，所以k≥2025，

当c1，c2，…，ck构成公差为－2的等差数列时，满足c1＝2024，且S2k－1＝2024，此时k＝2025，所以k的最小值为2025.

;;【对点训练3】（2024·江西九江三模）已???数列{an}共有m(m≥2)项，且an∈Z，若满足|an＋1－an|≤1(1≤n≤m－1)，则称{an}为“约束数列”．记“约束数列”{an}的所有项的和为Sm.

(1)当m＝5时，写出所有满足a1＝a5＝1，S5＝6的“约束数列”；

解：当m＝5时，所有满足a1＝a5＝1，S5＝6的“约束数列”有①1，1，2，1，1；②1，1，1，2，1；③1，2，1，1，1.

;(2)当m＝2000，a1＝25时，设p：a2000＝2024，

q：“约束数列”{an}为等差数列，请判断p是q的什么条件，并说明理由；

解：p是q的充分不必要条件．理由：

①当a2000＝2024时，∵|an＋1－an|≤1(n＝1，2，…，1999)，∴an＋1－an≤1.

则a2000＝(a2000－a1999)＋(a1999－a1998)＋(a1998－a1997)＋…＋(a2－a1)＋a1≤1999＋a1＝2024，

当且仅当a2000－a1999＝a1999－a1998＝a1998－a1997＝…＝a2－a1＝1时，a2000＝2024成立，

∴“约束数列”{an}是公差为1的等差数列．

;②当“约束数列”{an}是等差数列时，由|an＋1－an|≤1，得an＋1－an＝1，或an＋1－an＝0，或an＋1－an＝－1，

若an＋1－an＝0，则{an}的公差为0，∴a2000＝a1＝25；

若an＋1－an＝－1，则{an}的公差为－1，

∴a2000＝a1－1999＝－1974；

若an＋1－an＝1，则{an}的公差为1，

∴a2000＝a1＋1999＝2024，

即当“约束数列”{an}是等差数列时，a2000＝25或－1974或2024.

由①②，得p是q的充分不必要条件．;解：∵a1＝1，a2k＝0，∴要使得|Sm|取最大值，则an≥0，

当且仅当同时满足以下三个条件时，|Sm|取最