高中数学人教A版（2019）必修第二册第六章向量的实际背景与概念教学设计.docx

6.1.1向量的实际背景与概念

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第二册

章节：6.1.1向量的实际背景与概念

教材分析

本节课通过小船的位移、速度以及物体所受的重力、浮力等实际例子，抽象出“向量”的概念，指出向量是既有大小又有方向的量，与只有大小的数量形成对比。教学过程从具体情境出发，引导学生归纳共性，抽象出向量的定义，并通过对比分析深化理解。本节内容与后续向量的表示、运算等内容紧密相关，是学习向量知识的基础。通过学习，学生能够提升抽象概括能力和数学建模意识，为理解向量的几何与代数意义奠定基础，同时为后续学习向量运算及其应用提供支撑，有助于发展学生的逻辑推理和几何直观能力。

学情分析

在学习本节内容前，学生已经掌握了物理中的位移、速度、力等基本概念，并在初中数学中接触过有向线段的相关知识，具备一定的直观认知基础。进入高中阶段后，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力逐步提升，能够通过具体实例归纳出数学概念的本质特征，但对抽象向量概念的理解仍需借助实际背景进行引导。本节课要求学生从物理量中提炼出“既有大小又有方向”的共性，进而理解向量的定义及其与数量的区别，为后续学习向量的表示、运算及应用奠定基础，有助于发展其数学抽象和建模能力。

教学目标

理解向量的实际背景，能够通过位移、速度等实例说明向量的特征，达到数学抽象核心素养水平一的要求。

掌握向量的概念，能够区分向量与数量，并举例说明二者的区别，达到数学抽象核心素养水平二的要求。

能够从实际问题中抽象出向量的共同属性（既有大小又有方向），并解释其数学意义，达到数学建模核心素养水平一的要求。

通过分析力、位移等实例，归纳出向量的定义，并能用数学语言准确描述，达到逻辑推理核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：向量的概念及其与数量的区别，理解向量的几何表示。

教学难点：向量概念的抽象理解，向量方向与大小的统一认识。

课堂导入

同学们，大家都玩过放风筝吧。当我们放风筝时，风筝线不仅有一定的长度，即大小，同时线还朝着某个方向牵引着风筝。再比如，大家在体育课上投实心球，实心球出手的那一刻，它具有一定的速度大小，而且也有明确的飞行方向。力、速度这些生活中常见的量，都有着“既有大小，又有方向”的特点。而像我们测量的教室长度，只有大小，没有方向。那么像这类既有大小又有方向的量，在数学里该如何定义和研究呢？今天，就让我们一起走进“向量的实际背景与概念”的学习。

向量的实际背景与概念

探究新知

（一）知识精讲

在现实生活中，我们经常接触到各种各样的量，例如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等。这些量都只有一个共同的特征：它们只有大小，没有方向。我们把这样的量称为数量。

然而，还有一些量，它们不仅有大小，还有方向。例如，物体受到的重力是竖直向下的，小船的位移是东南方向，航行的速度也是东南方向。这些量不仅需要说明“多大”，还需要说明“朝哪个方向”。我们把这种既有大小又有方向的量称为向量（vector）。

向量是数学中一种重要的量，它广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。向量的直观表示通常是一个带有箭头的线段，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

例如，在图6.1-1中，物体受到的重力方向是竖直向下；在图6.1-2中，物体在液体中受到的浮力方向是竖直向上。

通过观察这些实际背景中的例子，我们可以发现：力、位移、速度等虽然具体意义不同，但它们都具有一个共同的属性——既有大小，又有方向。因此，我们可以将这些量抽象出来，形成一种新的数学对象——向量。

（二）师生互动

教师提问1：我们已经学习过很多数量，比如质量、面积、体积等，那么这些数量和今天学习的向量有什么本质区别？

学生回答：数量只有大小，没有方向；而向量既有大小，又有方向。

教师提问2：如果我们要描述一个向量，应该包括哪些要素？

学生回答：应该包括大小和方向两个要素。

教师提问3：在现实生活中，除了力、位移、速度之外，你还知道哪些量是向量？

学生举例：加速度、动量、风速、水流速度等。

教师引导：这些例子都说明向量在现实世界中无处不在，它们是我们描述运动和力的重要工具。

（三）设计意图

本部分内容旨在引导学生从现实背景出发，理解向量的基本概念，明确向量与数量的本质区别。通过具体实例的分析，帮助学生建立向量的直观认识，为后续学习向量的表示、运算和应用打下基础。教学过程中注重引导学生观察、比较和归纳，培养其抽象思维能力和数学建模意识。同时，通过师生互动，激发学生的学习兴趣，增强其对数学与现实联系的理解，体现数学来源于生活、服务于生活的价值导向。

新知应用

例1题目：

如图6.1-1和图6.1-2所示：

图6.1-1中，物体受到的重力方向是竖直向下；

图6.1-2中，物体在液体中受到的浮力方向是竖直向上。

请结合