高中数学人教A版（2019）必修第二册第六章正弦定理教学设计.docx

2.正弦定理

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第二册

章节：2.正弦定理

教材分析

本节课从初中三角形边角关系出发，通过直角三角形的三角函数关系引入正弦定理，利用向量方法分别在锐角和钝角三角形中推导出asin

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生在初中已经掌握了三角形的基本性质，包括三角形内角和、边角关系中的定性结论，如“大边对大角”，并初步接触了锐角三角函数的基本定义，具备一定的几何与代数推理能力；进入高中后，学生已学习向量的基本概念及其运算，尤其是向量数量积的定义与几何意义，为本节课从定量角度探究三角形边角关系提供了工具支持。当前阶段的学生具备一定的逻辑推理能力和抽象思维能力，但对将向量知识应用于三角形定量关系的推导过程尚不熟悉，尤其对向量与三角函数之间的联系理解仍需引导。本节课要求学生能够借助向量方法推导正弦定理，理解其几何本质，并能初步应用定理解三角形问题，有助于提升学生数形结合、逻辑推理与数学建模的能力。

教学目标

理解正弦定理的内容和几何意义，能够准确表述定理内容并解释其数学含义，达到数学抽象核心素养水平一的要求。

掌握正弦定理的推导过程，能够运用向量方法证明定理在锐角三角形和钝角三角形中的适用性，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

能够运用正弦定理解决已知两角和一边及已知两边和其中一边的对角两类解三角形问题，达到数学建模和数学运算核心素养水平二的要求。

理解正弦定理与直角三角形边角关系的联系与区别，能够分析不同三角形中边角关系的统一性，达到直观想象核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：正弦定理的推导过程及其表达式asin?A=

课堂导入

同学们，在生活中我们常遇到测量不可达物体距离的问题，比如要测量河对岸两点间距离。在三角形中，边与角有着紧密联系，初中我们知道等边对等角、大边对大角等定性关系。那从定量角度，边与角的正弦之间又有怎样精确的等式关系呢？就像在一个三角形中，已知两角和一边，或者已知两边和其中一边的对角，如何准确求出其他边和角呢？带着这些疑问，今天我们一起来探索正弦定理，看看它如何帮助我们解决这些三角形边角计算的难题。

正弦定理

探究新知

（一）知识精讲

在初中阶段，我们已经知道三角形中边与角之间存在一定的关系，例如“等边对等角”“大边对大角”“小边对小角”。从定量的角度来看，我们可以进一步探究三角形中边与角之间的具体数量关系。

我们首先从直角三角形入手进行分析。如图6.4-9所示，在直角三角形△ABC中，设角C为直角，边a、b、c分别为角A、B、C

sin

将这两个式子变形，可以得到：

a

因此，可以得出：

a

又因为sinC=

a

这说明在直角三角形中，各边与其对角的正弦的比值相等。

接下来我们考虑锐角三角形的情形。如图6.4-10所示，在锐角三角形△ABC中，我们引入向量方法进行分析。设过点A作与向量A垂直的单位向量j，则j与A的夹角为π2?A，与C的夹角为

根据向量的加法关系：

A

两边同时与单位向量j做数量积，得：

j

利用数量积的分配律，得：

j

进一步展开，得到：

∣

化简后可得：

a

即：

a

同理，过点C作与C垂直的单位向量m，可得：

b

因此，可以得出：

a

对于钝角三角形，如图6.4-11所示，设角A为钝角，同样可以构造单位向量并利用向量数量积的方法，得出相同的结论：

a

综上所述，我们得到正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：

a

这个定理适用于任意三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。

（二）师生互动

教师提问1：我们已经知道在直角三角形中，边与角的正弦之间存在这样的比例关系，那么在非直角三角形中是否也存在类似的关系呢？

学生回答：通过刚才的分析，我们发现无论三角形是锐角还是钝角，都可以通过构造单位向量并利用向量数量积的方法，得出边与角的正弦之间的比例关系。

教师提问2：在推导过程中，我们为什么要引入单位向量？它在推导中起到了什么作用？

学生回答：单位向量帮助我们建立向量之间的夹角关系，从而将边与角联系起来。通过向量的数量积，我们可以将几何关系转化为代数表达，便于推导出定量关系。

教师提问3：如果已知三角形的两个角和一条边，能否利用正弦定理求出其他边？

学生回答：可以。因为三角形的三个角之和为180

（三）设计意图

通过从学生熟悉的直角三角形出发，引导学生逐步过渡到锐角三角形和钝角三角形，帮助学生建立从特殊到一般的数学思维过程。在推导过程中，引入向量方法，不仅体现了向量在几何问题中的应用价值，也提升了学生运用数学工具解决实际问题的能力。通过师生互动，引导学生思考定理的适用范围和推导逻辑，强化学生对定理本质的理解。整个探究过程注重知识的