高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章诱导公式教学设计.docx

5.3诱导公式

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第一册

章节：5.3诱导公式

教材分析

本节课借助单位圆的对称性，推导出三角函数的诱导公式，包括π±α、?α及π/2±α的三角函数与α之间的关系，揭示了三角函数的对称变换规律，并通过这些公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。教学过程从图形直观出发，引导学生观察、归纳、推理论证，逐步建立诱导公式的体系。本节内容承接了三角函数定义和同角三角函数关系的学习，是进一步研究三角恒等变换和三角函数性质的基础。通过学习，学生能够提升几何直观、逻辑推理和代数运算能力，理解三角函数在不同象限的符号规律与函数变换关系，为后续三角函数的图像与性质、三角恒等变换等内容的学习提供了重要工具。

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了任意角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系以及单位圆的相关知识，具备利用单位圆理解三角函数几何意义的能力，也初步具备了通过图形变换探究三角函数之间关系的能力。高一学生正处于由形象思维向抽象思维过渡的阶段，对直观图形有较强的理解力，但在抽象公式推导和符号运算方面仍需加强训练，尤其在角度变换、函数符号转换等方面容易出现混淆。本节课要求学生通过单位圆的对称性理解诱导公式的本质，掌握公式二至公式六的推导过程及其相互转化关系，能够熟练运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，从而提升逻辑推理能力和符号运算能力，为后续三角恒等变换和三角函数性质的学习奠定坚实基础。

教学目标

理解诱导公式的推导过程，能够借助单位圆对称性解释公式二、三、四的几何意义，达到直观想象核心素养水平二的要求。

掌握公式一至公式六的三角函数关系，能够正确运用诱导公式进行三角函数式的化简与求值，达到数学运算核心素养水平二的要求。

能够通过单位圆对称性自主推导公式五和公式六，理解正弦与余弦函数的相互转化关系，达到逻辑推理核心素养水平三的要求。

认识诱导公式在三角函数研究中的重要性，理解其反映的三角函数对称性本质，达到数学抽象核心素养水平二的要求。

重点难点

教学重点：诱导公式的推导与应用，利用单位圆对称性理解三角函数值的关系，实现任意角三角函数值的转化。

教学难点：诱导公式的记忆与灵活运用，特别是公式五、六中正弦与余弦的互化关系及符号变化规律的理解。

课堂导入

同学们，在前面我们已经学习了任意角的三角函数定义。现在老师提个问题：已知锐角α的正弦值为12，那sin(π+α)的值是多少呢？我们知道角的终边位置决定其三角函数值，而角之间又存在着各种几何关系，比如关于原点、坐标轴、直线y=x对称等。像π+α与α的终边就关于原点对称，那它们的三角函数值会有怎样的联系呢？今天，我们就借助单位圆的对称性来探究π+α、?α、π?α、π2±α

诱导公式

探究新知

（一）知识精讲

在三角函数的学习中，我们已经掌握了单位圆的定义以及三角函数的基本性质。接下来，我们将借助单位圆的对称性，进一步探究角与角之间的三角函数值关系，从而推导出一组重要的公式——诱导公式。

首先，我们来看图5.3-2，设点P1(x1,y1)是单位圆上与角α对应的点，点

x

根据三角函数的定义，角α的三角函数值为：

sin

而角π+α的三角函数值为：

sin

由此我们得到公式二：

sin

接下来，我们继续观察图5.3-3，设点P3是点P1关于x轴的对称点，则角?α的三角函数值与角α

sin

这就是公式三。

再观察图5.3-4，设点P4是点P1关于y轴的对称点，则角π?α的三角函数值与角α

sin

这就是公式四。

进一步地，我们观察图5.3-5，设点P5(x5,y5)是点

x

根据三角函数定义，角π2?α

sin

于是我们得到公式五：

sin

类似地，还可以推导出公式六：

sin

这些公式统称为诱导公式，它们揭示了三角函数在不同角之间的对称关系，能够帮助我们将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，从而简化计算和分析。

（二）师生互动

教师提问1：我们已经知道角π+α的三角函数值与角α之间存在怎样的关系？你能结合单位圆的几何意义解释一下吗？

学生回答：角π+α的终边与角α的终边关于原点对称，因此对应的点坐标都取相反数，从而导致正弦和余弦函数值都取相反数，而正切函数值不变。

教师提问2：如果我们将角α的终边关于x轴对称，得到的角是?α，那么它的三角函数值会发生怎样的变化？你能用单位圆解释吗？

学生回答：关于x轴对称意味着纵坐标取相反数，横坐标不变，因此正弦函数值变号，余弦函数值不变，正切函数值也变号。

教师提问3：角π2?α的三角函数值与角α

学生回答：根据公式五，sin(π2

教师提问4：诱导公式在实际应用中有什么意义？为