高中数学人教A版（2019）必修第二册第六章平面向量数乘运算的坐标表示教学设计.docx

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第二册

章节：6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

教材分析

本节课通过已知向量的坐标表示，推导出数乘向量的坐标运算规则，并进一步得出两个向量共线的充要条件。教学过程从具体例子出发，引导学生理解数乘向量的坐标形式，并通过方程思想消元得到共线条件的坐标表达式。本节内容承接了平面向量线性运算的坐标表示，与前面向量加减法的坐标运算形成完整体系。本节课有助于提升学生的代数运算能力、逻辑推理能力，为后续学习向量的数量积、向量在几何中的应用等内容奠定基础，同时强化了数形结合与坐标法的思想方法。

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了平面向量的基本概念、向量加法与减法的坐标表示，以及实数与向量数乘运算的定义和几何意义，具备了一定的向量运算能力，同时具备用坐标表示向量及其运算的初步经验，学生处于高中阶段，抽象思维能力和逻辑推理能力逐步发展，能够接受较为严谨的数学推导过程，并具备一定的数形结合意识，本节课要求学生理解并掌握数乘向量运算的坐标表示方法，并能推导向量共线的坐标条件，有助于提升学生对向量运算本质的理解，增强其运用坐标法解决向量问题的能力，同时为后续学习向量的数量积等内容奠定基础。

教学目标

理解向量数乘运算的坐标表示方法，能够准确计算λa

掌握向量共线的坐标判定条件，能够运用x1

能够通过向量数乘运算推导出向量共线的坐标条件，理解向量运算与坐标表示的内在联系，达到数学抽象核心素养水平二的要求。

能够运用向量数乘运算的坐标表示解决实际问题，如力的合成与分解等物理问题，达到数学建模核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：平面向量数乘运算的坐标表示，向量共线的坐标充要条件。

教学难点：理解向量共线条件的坐标推导及其应用。

课堂导入

同学们，之前我们学习了平面向量的坐标运算，比如向量加法、减法的坐标表示。现在请大家思考这样一个问题：已知向量(\vec{a}=(2,3))，若有实数(3)与它相乘，得到(3\vec{a})，那(3\vec{a})的坐标该如何表示呢？

再看，我们也知道两个向量共线存在一定的关系。假设(\vec{m}=(4,6))，(\vec{n}=(2,3))，很明显这两个向量共线。那能否从坐标角度，找到一种通用的判定方法，来判断任意两个向量是否共线呢？带着这两个有趣的问题，今天我们就一起来探究平面向量数乘运算的坐标表示。

平面向量数乘运算的坐标表示

探究新知

（一）知识精讲

我们知道，向量可以进行数乘运算，即一个实数与一个向量相乘。如果给定向量a=(x,y)，那么实数λ与向量a的乘积λa

根据向量的坐标表示形式，a=xi+yj，其中i

λ

因此，λa

λ

这说明，实数与向量的积的坐标等于用这个实数分别乘原来向量的相应坐标。

进一步地，设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)

a

用坐标表示就是：

(

即：

{

将这两个等式联立，消去λ，可以得到：

x

因此，向量a与b共线的充要条件是它们的坐标满足：

x

（二）师生互动

教师提问：

我们知道，向量的数乘运算会改变向量的大小，但方向不变（除非λ0）。那么，如果给定一个向量a=(3,4)，你能写出2a和?3

学生回答：

2a=(6,8)，

教师追问：

很好！那如果两个向量a=(2,4)，b

学生思考后回答：

我们可以用共线的充要条件来判断，即x1y2?

教师总结：

非常好！这说明我们可以通过坐标来判断两个向量是否共线，而不需要画图或依赖几何直观。

（三）设计意图

通过向量数乘运算的坐标表示推导，帮助学生理解数乘运算对向量坐标的线性影响，强化向量代数运算与几何意义之间的联系。在共线条件的推导过程中，引导学生从向量等式出发，通过坐标等式消元，得出简洁的坐标判别式，提升学生的代数推理能力和逻辑思维能力。通过师生互动中的具体问题，引导学生将抽象的数学结论应用于具体情境，促进知识的内化和迁移。同时，通过问题引导学生主动思考，激发学习兴趣，培养严谨的数学思维习惯和探究精神。

新知应用

例6题目：

已知a=(2,1)，b=(?3,4)，求3

解答：

我们先分别对向量进行数乘运算：

3

4

然后进行向量加法：

3

所以，结果向量的坐标是(?6,19)。

总结：

1.题目考查内容

①向量的数乘运算的坐标表示；

②向量加法的坐标表示。

2.题目求解要点

①掌握数乘向量的运算法则：实数乘以向量的每个坐标分量；

②掌握向量加法的坐标运算法则：对应坐标分别相加；

③注意运算顺序，先数乘后加法，避免符号错误。

例7题目：

已知a=(4,2)，b=(6,y)，且a∥b

解答：

根据向量共线的充要条件：两个向量共线当且仅当它们的坐