高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章匀速圆周运动的数学模型教学设计.docx

5.6.1匀速圆周运动的数学模型

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第一册

章节：5.6.1匀速圆周运动的数学模型

教材分析

本节课通过筒车这一实际问题，引入匀速圆周运动的数学模型，建立形如H=rsin

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了三角函数的基本概念、同角三角函数关系、诱导公式以及三角函数的图象与性质，具备利用三角函数模型解决简单实际问题的能力，同时对函数模型中参数如振幅、周期、初相位的物理意义有初步理解，学生具备一定的数形结合与抽象建模能力，但将实际问题转化为数学模型仍存在一定困难，特别是在理解相位φ和角速度ω对函数模型的影响方面需要加强，本节课通过筒车实例引导学生构建形如H=rsin

教学目标

理解匀速圆周运动的数学模型，能够解释三角函数模型在刻画周期性运动中的作用，达到数学建模核心素养水平一的要求。

掌握建立匀速圆周运动数学模型的方法，能够根据实际问题中的变量关系推导出高度H与时间t的函数关系H=rsin

能够分析函数y=rsin

能够将筒车运动的实际问题抽象为数学模型，并运用三角函数知识解决实际问题，达到数学建模和数学应用核心素养水平二的要求。

重点难点

教学重点：理解匀速圆周运动中盛水筒高度变化的周期性规律，掌握用三角函数模型y=rsin(ωt+φ)描述其运动，能建立实际问题中的函数模型H=rsin(ωt+φ)+?。

课堂导入

同学们，我们先来看一个生活场景。游乐场中的摩天轮缓缓转动，游客乘坐的座舱在摩天轮上做着有规律的运动。大家思考一下，若把座舱看成质点，它距离地面的高度与时间之间会存在怎样的关系呢？座舱的运动具有周期性，就如同我们生活中很多周而复始的现象一样。我们已经学习过三角函数，它也是一种周期变化的函数。那么，能不能利用三角函数来建立一个函数模型，精准地刻画座舱高度与时间的关系呢？今天，我们就以摩天轮为例，来探究如何建立匀速圆周运动的数学模型，就像我们曾经利用数学知识解决其他实际问题一样，看看三角函数在这个场景中会发挥怎样的作用。

匀速圆周运动的数学模型

探究新知

（一）知识精讲

在现实生活中，许多周期性现象都可以用三角函数来描述。例如，筒车作为一种古代灌溉工具，其盛水筒在转动过程中呈现出周期性的运动规律。为了更准确地刻画这种运动，我们可以借助数学中的三角函数模型。

如图5.6-1和图5.6-2所示，筒车在水流量稳定的情况下，盛水筒做匀速圆周运动。我们可以将盛水筒的运动抽象为一个几何图形，建立直角坐标系进行分析。

设筒车的中心为点O，盛水筒初始位置为点P0，经过时间t后运动到点P(x,y)。以Ox为始边，OP0为终边的角为φ。由于筒车匀速转动，角速度为ω，因此在时间t后，盛水筒所在位置的角为

根据三角函数的定义，点P的纵坐标y可表示为：

y=r

其中，r是筒车的半径，ω是角速度，φ是初始角。

进一步地，盛水筒距离水面的高度H由中心O到水面的距离?与纵坐标y共同决定，因此有：

H=r

这个函数模型刻画了盛水筒高度随时间变化的规律。由于?是常量，我们可以通过研究函数y=rsin(ωt+φ)

（二）师生互动

教师提问1：我们刚才建立了盛水筒高度随时间变化的函数模型H=rsin

学生回答：r表示筒车的半径，ω是角速度，φ是初始角，?是筒车中心到水面的距离。

教师提问2：如果筒车的角速度ω增大，盛水筒的运动周期会发生什么变化？你能从函数图像上解释吗？

学生回答：角速度增大，周期会变短。因为周期T=2πω，所以ω越大，周期越小，图像会变得更“密集

教师提问3：如果初始角φ不为零，函数图像会发生怎样的变化？

学生回答：图像会沿时间轴发生平移，即产生相位偏移。

（三）设计意图

通过将筒车的运动抽象为数学模型，引导学生理解三角函数在描述周期性现象中的应用价值，强化函数建模的思想。通过师生互动，帮助学生理解函数中各个参数的物理意义及其对图像的影响，提升学生从实际问题中抽象出数学模型的能力。同时，通过分析函数图像的变化，发展学生的数形结合意识和逻辑推理能力，增强学生对数学与现实联系的认识，激发学习兴趣和探究欲望。

新知应用

例题题目：

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，盛水筒做匀速圆周运动。设筒车的中心O到水面的距离为?，筒车的半径为r，角速度为ω，盛水筒初始位置对应的角为φ。建立盛水筒距离水面的高度H与时间t的函数模型，并分析其数学表达式。

解答：

我们以筒车的运动为背景，建立一个数学模型来刻画盛水筒距离水面的高度随时间变化的规律。

建立坐标系

如图所示，以筒车中心O为原点，建立平面直角坐标系，设盛水筒在t=0时刻位于点P0，其对应的角为φ

角位置随