高中数学人教A版（2019）必修第二册第六章平面向量数量积的坐标表示教学设计.docx

6.3.5平面向量数量积的坐标表示

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第二册

章节：6.3.5平面向量数量积的坐标表示

教材分析

本节课通过向量数量积的坐标表示公式的推导，得出两个向量数量积的运算可以转化为坐标对应乘积的和，并进一步推导出向量模、向量垂直条件以及夹角余弦的坐标表达式。教学过程从具体坐标出发，引导学生进行代数运算与几何意义的结合探究。本节内容承接了向量的坐标表示与向量运算的学习，是向量代数的重要组成部分。通过本节课的学习，学生能够提升代数运算能力与几何直观理解，掌握向量在坐标系下的运算规则，为后续解析几何、力学等领域的学习奠定基础。

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了平面向量的基本概念、线性运算以及数量积的定义和几何意义，具备了一定的向量运算能力和几何直观能力，同时具备了平面直角坐标系的相关知识，能够用坐标表示向量并进行简单运算，现阶段学生正处于由直观思维向抽象思维过渡的关键时期，具备一定的逻辑推理能力和符号运算能力，但对向量运算与坐标表示之间的内在联系理解还不够深入，本节课要求学生能够从坐标角度推导向量数量积的运算公式，并理解其几何意义，有助于提升学生的代数推导能力、数形结合意识以及对向量工具性的认识，为后续学习向量在几何与物理中的应用奠定基础。

教学目标

理解平面向量数量积的坐标表示公式a?

掌握向量模长的坐标计算公式∣a

理解向量垂直的坐标判定条件x1

掌握向量夹角余弦的坐标计算公式，能够运用公式计算两向量的夹角，达到数学运算和直观想象核心素养水平二的要求。

重点难点

教学重点：平面向量数量积的坐标表示及其运算规则，利用坐标判断向量垂直关系。

教学难点：理解向量数量积的坐标推导过程，掌握夹角公式的应用与几何意义。

课堂导入

同学们，之前我们学习了平面向量数量积的定义及运算律，那在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，比如a=(x1,y1)，b=(x2,y2)

平面向量数量积的坐标表示

探究新知

（一）知识精讲

在学习了向量的基本概念和数量积的定义之后，我们进一步研究如何用向量的坐标来表示数量积。

设向量a=(x1,y1

我们知道，平面向量可以表示为单位向量i和j的线性组合：

a

根据数量积的运算律，我们有：

a

又因为单位向量之间满足以下关系：

i

代入后可得：

a

因此，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

由此可以进一步推导出以下两个重要结论：

若a=(x,y)

∣

如果向量a的起点为(x1,y1)，终点为

∣

若a=(x1,y1)，

x

此外，若θ是向量a与b的夹角，则有：

cos

（二）师生互动

教师提问：

我们知道两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零，那么如果已知向量a=(3,4)

学生回答：

可以尝试构造一个向量b=(?4,3)，因为3×(?4)+4×3=?12+12=0，所以a

教师追问：

很好！那么你能总结一下，如何构造一个与已知向量垂直的向量吗？

学生思考后回答：

如果已知向量a=(x,y)，那么一个与它垂直的向量可以是(?y,x)或(y,?x)

教师总结：

非常棒！这说明我们不仅掌握了数量积的坐标表示，还能灵活运用它来构造特定关系的向量。

（三）设计意图

通过引导学生从向量的坐标表示出发，推导数量积的坐标表达式，帮助学生理解数量积的本质及其与坐标之间的联系，强化学生对向量运算的代数化理解。通过师生互动中的构造性问题，激发学生的思维参与，提升其逻辑推理和数学表达能力。同时，通过垂直向量的构造与验证，引导学生体会数学结论的可操作性和应用性，培养其发现问题、分析问题和解决问题的能力。整个教学过程注重知识的自然生成与逻辑推导，体现从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维过程，渗透数形结合与代数运算的思想方法，提升学生的数学核心素养。

新知应用

例10题目：

若点A(1,2)，B(2,3)，C(?2,5)，则△ABC

解答：

首先，我们通过向量法来判断三角形的形状。

求向量A和A：

A

A

计算A?

A

判断垂直关系：

由于数量积为0，说明A⊥A，即

结论：

因此，△ABC是一个以A

总结：

1.题目考查内容

①向量的坐标表示

②向量数量积的坐标运算

③利用向量判断两向量是否垂直，从而判断三角形的形状

2.题目求解要点

①通过两点坐标求出向量

②使用数量积公式判断向量是否垂直

③结合几何图形理解向量关系与三角形形状之间的联系

例11题目：

设a=(5,?7)，b=(?6,?4)，求a?b及a、b的夹角

解答：

计算数量积a?

a

计算向量的模长：

∣

∣

利用夹角公式求cosθ

cos

求夹角θ：

使用计算器求反余弦：

θ=

总结：

1.