高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章同角三角函数的基本关系教学设计.docx

5.2.2同角三角函数的基本关系

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第一册

章节：5.2.2同角三角函数的基本关系

教材分析

本节课通过单位圆和直角三角形的几何关系，推导出同角三角函数的基本关系式sin?2α+

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了三角函数的定义、单位圆的基本性质以及任意角的三角函数值的求解方法，具备了利用直角三角形和勾股定理进行推理的基础，同时对函数关系的理解也逐步深入，能够从数形结合的角度分析问题，但对三角函数之间的内在联系仍缺乏系统认识；本节课要求学生能够从单位圆出发，结合三角函数的定义推导并理解同角三角函数的基本关系式sin?2α+

教学目标

理解同角三角函数的基本关系sin?2α+

掌握同角三角函数关系的推导过程，能够运用单位圆和勾股定理进行证明，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

能够灵活运用同角三角函数关系进行恒等变形和化简，解决简单的三角函数求值问题，达到数学运算核心素养水平二的要求。

理解三角函数关系在不同象限的适用性，能够分析特殊情况下的关系式成立条件，达到逻辑推理核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：理解同角三角函数的基本关系式sin?2α+cos?

课堂导入

同学们，之前我们学习了任意角的三角函数，知道了三角函数值由角的终边与单位圆交点确定。现在来思考一个有趣的问题：已知一个角的正弦值为35，你能求出这个角的余弦值和正切值吗？是不是感觉无从下手呀。其实，同一个角的三角函数值之间是存在紧密联系的。就像生活中，看似独立的事物，实则有着千丝万缕的关系。今天，我们就一起探究同角三角函数的基本关系。大家想想，角的终边与单位圆的交点坐标和三角函数值息息相关，那从这些坐标之间的关系，能否找到三角函数值之间的联系呢？带着这个疑问，我们开启今天的学习之旅。

同角三角函数的基本关系

探究新知

（一）知识精讲

我们知道，三角函数是由角的终边与单位圆交点唯一确定的。因此，对于同一个角，其正弦、余弦和正切之间必然存在某种确定的关系。我们可以通过单位圆来探究这些关系。

如图5.2-7，设点P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点。过点P作x轴的垂线，垂足为M，则△OMP是一个直角三角形，且斜边OP=1

根据勾股定理，有：

O

即：

x

由三角函数的定义可知，sinα=y，cos

sin

这个等式对于任意角α都成立，即使角的终边落在坐标轴上时也成立。

此外，当角α的终边不在y轴上，即cosα

sin

这个关系也适用于所有满足α≠kπ±π

综上所述，我们得到两个重要的同角三角函数基本关系：

平方关系：sin

商数关系：sin?αcos?α

（二）师生互动

教师提问1：如果已知一个角的正弦值，你能求出它的余弦值吗？需要什么前提条件？

学生思考后回答：可以，但需要知道该角所在的象限，因为余弦值的正负取决于角的位置。

教师追问2：如果已知一个角的正切值和余弦值，你能求出它的正弦值吗？为什么？

学生回答：可以，因为tanα=sin?α

教师总结：这说明同角三角函数之间的关系不仅可以帮助我们从一个函数值推导出另一个函数值，还可以帮助我们理解三角函数之间的内在联系。

（三）设计意图

通过单位圆的几何直观，引导学生理解同角三角函数之间的基本关系，帮助学生建立数形结合的思维方式。在平方关系的推导过程中，强调单位圆与勾股定理的结合，使学生体会数学知识之间的联系与统一性。在商数关系的引入中，通过定义的回顾与逻辑推理，强化学生对三角函数定义的理解。师生互动环节通过问题引导，激发学生思考，促进对三角函数关系的深入理解，并为后续三角恒等变换的学习打下基础。整个探究过程注重知识的自然生成与逻辑推导，培养学生观察、分析和推理的能力，体现数学学习的严谨性与系统性。

新知应用

例6题目：

已知sinα=?35，求cosα

解答：

首先，我们知道sinα=?35，说明sinα0，且sinα≠?1，因此角α的终边不在

接下来，我们利用同角三角函数的基本关系式之一：

sin

代入已知的sinα=?

cos

接下来分情况讨论：

情况一：若α是第三象限角

在第三象限，cosα0

cos

再根据商的关系：

tan

情况二：若α是第四象限角

在第四象限，cosα0

cos

再根据商的关系：

tan

综上所述：

若α是第三象限角，则cosα=?4

若α是第四象限角，则cosα=4

总结：

1.题目考查内容

①同角三角函数的基本关系：sin?2α+cos?2α=1

②根据三角函数值判断角所在的象限

③利用三角函数的符号规律判断

2.题目求解要点

①熟练掌握并应用sin?2α+cos?2α=1进行求解

②根据sinα的符号判断角所在的象限

③结合象限判断cos