高中数学人教A版（2019）必修第二册第七章复数的乘、除运算教学设计.docx

7.2.2复数的乘、除运算

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第二册

章节：7.2.2复数的乘、除运算

教材分析

本节课介绍了复数的乘法与除法运算法则，通过多项式乘法结合虚数单位i的性质推导出复数相乘的结果，并指出其封闭性；对于除法，通过共轭复数的引入实现分母实数化，从而得到商的形式。教学过程可从具体例子出发，引导学生归纳出复数乘除的运算步骤，培养抽象思维与运算能力。本节内容承接复数的基本概念与加减运算，是后续学习复数几何意义与三角形式运算的基础。掌握复数乘除有助于提升学生的代数运算能力，为理解复数在向量、旋转等几何应用中的作用做好准备，同时强化代数结构的认知，为后续学习数学中的群、环、域等概念埋下伏笔。

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了复数的基本概念、分类及其加减运算，了解复数的代数形式及共轭复数的概念，具备了一定的代数运算能力，高中阶段学生的抽象思维能力和逻辑推理能力已有一定发展，能够接受较为抽象的数学概念和运算规则，但对复数乘除运算的几何意义和代数操作仍需进一步深化理解，本节课要求学生能够熟练运用复数乘法法则进行运算，并理解其几何意义，通过类比多项式乘法和共轭复数的应用，提升代数运算能力和数学抽象思维水平，为后续学习复数的几何意义及复数方程求解奠定基础。

教学目标

理解复数乘法的运算法则，能够运用多项式乘法法则推导复数乘法公式，达到数学运算核心素养水平一的要求。

掌握复数乘法的交换律、结合律和分配律，能够运用这些运算律简化复数运算过程，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

理解复数除法的运算原理，能够通过有理化分母的方法进行复数除法运算，达到数学运算核心素养水平二的要求。

能够区分实数运算与复数运算的异同，理解复数运算对实数运算的扩展性，达到数学抽象核心素养水平一的要求。

能够运用复数运算法则解决简单的复数计算问题，验证运算结果的正确性，达到数学运算核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：复数乘法的运算法则及其几何意义，复数除法的定义与运算步骤，共轭复数在除法中的应用。

教学难点：理解复数乘除运算的几何意义，复数除法中分母实数化的原理与灵活运用。

课堂导入

同学们，之前我们学习了复数的基本概念和加减法运算。在实数运算体系里，有加就有减，有乘就有除。那对于复数，除了加减法，乘法和除法运算又该如何进行呢？就像多项式相乘，我们都很熟悉。大家看，比如((x+2)(3x-1))展开是有规律可循的。那复数((a+bi)(c+di))（(a,b,c,d\in\mathbb{R})）相乘，是不是也能类比多项式相乘找到方法呢？同样，有了乘法，除法又该怎么计算呢？带着这些疑问，今天我们就一起探究复数的乘法和除法运算。

复数的乘法运算

探究新知

（一）知识精讲

我们已经学习了复数的基本形式：一个复数通常表示为z=a+bi，其中a、b是实数，i是虚数单位，满足i2

设两个复数分别为z1=a+bi、z2=c+di

z

注意到i2

ac+bci+adi+bd(?1)=(ac?bd)+(ad+bc)i

于是我们得到复数乘法的结果为：

(a+bi)(c+di)=(ac?bd)+(ad+bc)i

这个结果仍然是一个复数，其中实部为ac?bd，虚部为ad+bc。这说明两个复数相乘的结果仍然是一个复数，且其形式唯一确定。

特别地，当两个复数都是实数时，即b=0、d=0，则乘积为：

(a+0i)(c+0i)=ac+0i

这与实数的乘法结果一致，说明复数乘法是实数乘法的自然推广。

复数的乘法运算具有以下基本性质：

交换律：对于任意两个复数z1,z2

结合律：对于任意三个复数z1,z2

分配律：对于任意三个复数z1,z2

这些性质表明，复数的乘法运算在形式和性质上与实数的乘法非常相似，只是在运算过程中需要特别注意i2=?1

（二）师生互动

教师提问1：

我们已经知道复数的加法运算是将实部与实部相加、虚部与虚部相加，那么复数的乘法是否也可以类比多项式的乘法进行？

学生回答：

可以，复数相乘时，可以像两个二项式相乘一样展开，然后将i2替换为?1

教师提问2：

如果两个复数相乘后得到的结果是一个实数，你能举出一个例子吗？并说明这种情况下两个复数之间有什么关系？

学生回答：

例如(1+i)(1?i)=1?i

教师提问3：

复数乘法满足交换律、结合律和分配律，这些性质在我们学习实数运算时也成立。你认为这些性质在复数运算中有什么意义？

学生回答：

这些性质说明复数的乘法运算与实数运算在结构上是一致的，这为我们进一步研究复数的代数性质提供了基础。

（三）设计意图

通过引导学生从多项式乘法的角度出发，理解复数乘法的运算规则，帮助学生建立新旧知识之间的联系，降低学习难度。在讲