高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章正切函数的性质与图象教学设计.docx

5.4.3正切函数的性质与图象

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第一册

章节：5.4.3正切函数的性质与图象

教材分析

本节课从正切函数的定义出发，结合诱导公式讨论其周期性与奇偶性，并通过单位圆解释正切值的几何意义，借助图象分析正切函数在特定区间上的单调性与值域，最终推广得到整个定义域内的图象特征。教学过程可从学生已有经验出发，引导其通过几何直观与代数推理相结合的方式探究性质。本节内容承接了前面三角函数的定义与诱导公式的学习，也为后续研究余切函数及三角函数的综合应用奠定了基础。通过本节课的学习，学生能够提升数形结合能力，掌握研究周期性、奇偶性和单调性的方法，为理解更复杂的三角函数问题提供工具。

学情分析

学生在前面的学习中已经掌握了三角函数的基本概念、诱导公式以及正弦函数、余弦函数的图象与性质，具备了一定的函数研究方法和数形结合的思想基础。进入高中高年级阶段，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力逐步提升，能够接受较为系统的函数性质分析与图象绘制，但仍需借助直观图形辅助理解抽象概念。本节课要求学生利用已有知识，从定义出发研究正切函数的周期性、奇偶性、单调性和值域，并通过图象直观展示其变化规律，帮助学生深化对三角函数整体结构的理解，提升其归纳推理与数形结合的能力。

教学目标

理解正切函数的定义和几何意义，能够解释正切函数与单位圆的关系，达到数学抽象核心素养水平一的要求。

掌握正切函数的周期性、奇偶性和单调性，能够运用诱导公式推导相关性质，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

能够根据正切函数的性质绘制其图象，理解图象特征与函数性质的关系，达到直观想象核心素养水平二的要求。

理解正切函数的值域特点，能够分析函数在定义域内的变化趋势，达到数学分析核心素养水平一的要求。

能够运用正切函数的性质解决相关问题，建立不同数学知识之间的联系，达到数学建模核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：正切函数的周期性、奇偶性、单调性及值域，利用单位圆和诱导公式分析性质，通过图象理解正切函数的整体特征。

教学难点：正切函数的周期性与奇偶性的代数证明与几何解释，正切曲线的渐近线理解，正切函数单调区间的表达与图象特征的对应关系。

课堂导入

同学们，之前我们深入研究了正弦函数与余弦函数，通过单位圆、诱导公式等工具，了解了它们的图象与性质。那对于正切函数，大家思考一下，能否用类似的方法来探究呢？比如，我们知道诱导公式tan(x+π)=tanx，从这个公式出发，能发现正切函数具有什么特性呢？再想想，

正切函数的性质与图象

探究新知

（一）知识精讲

我们已经学习了正弦函数和余弦函数的图象与性质，并掌握了利用单位圆和三角函数线来研究它们的方法。现在我们来研究正切函数y=tanx

根据正切函数的定义：

tan

可以看出，正切函数是一个分式函数，其定义域是使得分母不为零的所有实数，即：

x

因此，正切函数在其定义域内是连续的，但在x=π2

接下来研究正切函数的周期性。由于正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数是它们的比值，因此我们可以进一步验证：

tan

这说明正切函数是周期函数，最小正周期为π。

再来看正切函数的奇偶性。根据定义：

tan

因此，正切函数是奇函数，其图象关于原点对称。

接下来研究正切函数在区间(?π2,π2)上的单调性。在这个区间内，cosx0，而sinx随

结合上述性质，我们可以画出正切函数在一个周期内的图象，然后利用周期性将其扩展到整个定义域。正切函数的图象如下图所示：

从图象中可以看出，正切函数在每个周期内都是单调递增的，并且在每两个相邻的渐近线之间连续变化。

（二）师生互动

教师提问1：我们已经知道正切函数的定义域与正弦、余弦函数不同，你能解释为什么正切函数在x=π2

学生回答：因为正切函数是正弦与余弦的比值，当余弦值为零时，分母为零，函数无定义。

教师提问2：正切函数是奇函数，你能从图象上看出它关于原点对称的特征吗？

学生回答：是的，图象中任意一点(x,tanx)关于原点对称的点(?x,?

教师提问3：正切函数的周期是π，你能用这个性质来画出它在(π2

学生回答：可以，只需要将(?π2,π2)

（三）设计意图

通过引导学生从函数定义出发，结合单位圆和三角函数的基本性质，系统地研究正切函数的定义域、周期性、奇偶性和单调性，帮助学生建立函数性质与图象之间的联系。在师生互动中，通过层层递进的问题引导学生思考，强化对正切函数图象特征的理解，提升学生从代数表达到几何直观的转化能力。同时，通过观察图象与代数性质的对应关系，培养学生的数形结合思想和逻辑推理能力，为后续三角函数的综合应用打下基础。

新知应用

例1题目：

根据正切函数的定义，研究正切函数的性质，并画出其在一个周期内的图象。

解答：

我们