二次函数与一元二次方程 (7大类型精准练+过关检测) (学生版)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

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专题12二次函数与一元二次方程（7大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：7大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1、二次函数与一元二次方程的关系

1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况

求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：

判别式

二次函数

一元二次方程

图象

与x轴的交点坐标

根的情况

△＞0

抛物线与x轴交于，两点，且，

此时称抛物线与x轴相交

一元二次方程

有两个不相等的实数根

△＝0

抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切

一元二次方程

有两个相等的实数根

△＜0

抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离

一元二次方程

在实数范围内无解（或称无实数根）

方法归纳：

二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.

2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式

当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．

∴

即（△＞0）

【课前热身】

1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（???）

A． B． C． D．

2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（???）

A． B． C． D．

3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（???）

A． B． C． D．

4．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．

5．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点．

(1)求的值；

(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．

知识点2、抛物线与不等式的关系

二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：

判别式

抛物线与x轴的交点

不等式的解集

不等式的解集

△＞0

或

△＝0

（或）

无解

△＜0

全体实数

无解

注：a＜0的情况请同学们自己完成．

要点归纳：

抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．

【课前热身】

1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（???）

A．或 B．或 C． D．或

2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（??）

A．或 B．

C． D．或

3．（22-23九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是．

4．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，是二次函数的图象．

(1)求二次函数解析式；

(2)根据图象直接写出关于的不等式的解集．

5．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求直线的解析式；

(2)观察图像，当时，x的取值范围是______．

【类型1】二次函数与x轴的交点坐标问题

1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（????）

A． B． C． D．

2．（24-25九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（???）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知二次函数的图像与轴交于，两点，且点在点左侧．若该二次函数的顶点为点，连接，，求的面积．

【类型2】二次函数与y轴的交点坐标问题

4．（2025·山东滨州·一模）将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是．

5．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是．

6．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在平面