二次函数与实际问题 (6大类型精准练+过关检测) (附答案)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

人教版九年级数学

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二次函数与实际问题（6大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：6大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点一、二次函数的实际应用

1.利用二次函数解实际问题的步骤

(1)阅读并理解题意；

(2)找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；

(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；

(4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解；

(5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍，

2.二次函数的应用的常见类型

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

【课前热身】

1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（???）

A．最大值为5万元 B．最大值为7万元

C．最小值为5万元 D．最大值为6万元

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键．

【详解】解：

，

当时，

（万元）；

故选：B．

2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】本题主要考查了列函数关系式，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为，据此根据矩形面积计算公式求解即可．

【详解】解：由题意得，．

故选：D．

3．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面，水面宽．水位上升1米，则水面宽度变为（???）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【分析】本题主要考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．

根据题意构建平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，进而求解即可．

【详解】解：由题意可得如图所示平面直角坐标系：

该拱形的顶点为，与x轴的交点坐标为，

∴设抛物线的解析式为：，

把点代入得：，解得：，

∴抛物线的解析式为，

当时，则有：，解得：，

∴此时水面宽为：，

故选：B．

4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（????）

A． B． C．8 D．

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的性质，设的速度为a，根据题意可得：的面积为，根据二次函数的性质即可得出答案．

【详解】解：设的速度为a，

根据题意可得：的面积为，

∴最大值为：，

故选：C．

5．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润．

【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元

【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．

【详解】解：根据题意得：，

，

当时，有最大值，最大值为：6250，

此时售价为：元，

答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元．

6．（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题：

(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少?

(2)