二次函数与实际问题 (6大类型精准练+过关检测) (学生版)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

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专题13二次函数与实际问题（6大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：6大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点一、二次函数的实际应用

1.利用二次函数解实际问题的步骤

(1)阅读并理解题意；

(2)找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；

(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；

(4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解；

(5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍，

2.二次函数的应用的常见类型

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

【课前热身】

1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（???）

A．最大值为5万元B．最大值为7万元C．最小值为5万元D．最大值为6万元

2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（）

A． B．

C． D．

3．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面，水面宽．水位上升1米，则水面宽度变为（???）

A． B． C．2 D．3

4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（????）

A． B． C．8 D．

5．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润．

6．（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题：

(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少?

(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?

7．（22-23九年级上·广东东莞·期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．

(1)喷头离地面的高度是多少？

(2)水流喷出的最大高度是多少？

(3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？

【类型1】二次函数的应用：投球问题

1．（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论；

①该男生推铅球出手时，铅球的高度为；

②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为；

③铅球落地时的水平距离为．

其中，正确结论的个数是（???）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．（2025·河南许昌·二模）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为．

3．（2025·河南·模拟预测）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙．