二次函数与一元二次方程 (7大类型精准练+过关检测) (附答案)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

淘宝：学思创想

PAGE1

专题12二次函数与一元二次方程（7大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：7大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1、二次函数与一元二次方程的关系

1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况

求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：

判别式

二次函数

一元二次方程

图象

与x轴的交点坐标

根的情况

△＞0

抛物线与x轴交于，两点，且，

此时称抛物线与x轴相交

一元二次方程

有两个不相等的实数根

△＝0

抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切

一元二次方程

有两个相等的实数根

△＜0

抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离

一元二次方程

在实数范围内无解（或称无实数根）

方法归纳：

二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.

2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式

当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．

∴

即（△＞0）

【课前热身】

1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根．

【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为，

∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标．

∴点和点的横坐标分别为和，

∴关于的一元二次方程的根是，，

答案选A．

2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键．

【详解】解：由得，当时，，

∴与轴的交点坐标是，

故选：．

3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解．

【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点，

∴，

∴．

故选：D．

4．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．

【答案】

【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可．

【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为，

当时，函数有最小值为：，

∵关于的一元二次方程有实数根，

∴抛物线和直线有交点，

∴；

故答案为：．

5．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点．

(1)求的值；

(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．

【答案】(1)

(2)二次函数图象与轴的交点坐标为

【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键．

（1）把点代入计算即可求解；

（2）二次函数，令，解一元二次方程即可．

【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点，

∴将代入，

∴；

（2）解：二次函数，令，则有，

解得，

故二次函数图象与x轴的交点坐标为．

知识点2、抛物线与不等式的关系

二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：

判别式

抛物线与x轴的交点

不等式的解集

不等式的解集

△＞0

或

△＝0

（或）

无解

△＜0

全体实数

无解

注：a＜0的情况请同学们自己完成．

要点归纳：

抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号