一元二次方程的解法：因式分解法 (10大类型精准练+过关检测) (附答案)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

人教版九年级数学

PAGE1

一元二次方程的解法：因式分解法（10大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：10大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：因式分解法（重难点）

（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

方法提醒：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

【课前热身】

1．解下列方程：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1），；

（2），；

（3），；

（4）．

【分析】（1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答；

（2）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答；

（3）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；

（4）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答．

【详解】解：（1），

，

或，

，；

（2），

，

，

或，

，；

（3），

，

或，

，；

（4），

，

．

【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

2．用因式分解法解下列方程：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

【分析】（1）由已知方程可得两个关于的一元一次方程，解之即可得出答案；

（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；

（3）直接开平方法求解即可；

（4）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．

【详解】解：（1），

或，

解得，；

（2），

，

则或，

解得，；

（3），

，

，；

（4），

，

或，

解得，．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

3．用因式分解法解下列方程：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

【分析】（1）把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；

（2）把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；

（3）把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；

（4）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．

【详解】解：（1），

，

或，

解得：，；

（2），

，

或，

解得：，；

（3），

，

或，

解得：，；

（4），

，

，

或，

解得：，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．

知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）

(1)在一元二次方程的四种解法中,优先选取顺序依次为直接开平方法→因式分解→公式法→配方法,若没有特别说明,一般不采用配方法.

(2)对于复杂的一元二次方程,一般不急于化为一般形式,应先观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法,若不能,再化为一般形式用公式法求解。

【课前热身】

1．用适当的方法解下列方程：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

【分析】（1）根据直接开平方法进行求解方程即可；

（2）根据配方法进行求解方程即可；

（2）根据公式法进行求解方程即可；

（4）根据因式分解法进行求解方程即可．

【详解】解：（1），

，

，；

（2），

，

，

，

，；

（3），

整理，，，

△，

，

，；

（4），

，

，

，

或，

，．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．

2．选用适当方法求下列方程的精确解．

（1）；

（2）．

【答案】见试题解答内