二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 (13大类型精准练+过关检测) (学生版)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

人教版九年级数学

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二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

知识点1、二次函数与之间的相互关系

1.顶点式化成一般式

从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．

2.一般式化成顶点式

．

对照，可知，．

∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．

方法归纳：

1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．

2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

【课前热身】

1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值．

2．（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数．

(1)用配方法将其化为的形式；

(2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标．

知识点2、二次函数的图象的画法

1.一般方法：列表、描点、连线；

2.简易画法：五点定形法.

其步骤为：

(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．

(2)求抛物线与坐标轴的交点，

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．

方法归纳：

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象

【课前热身】

1．（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图．

??

2．（22-23九年级上·北京东城·期末）已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示：

(1)求二次函数解析式；

(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；

(3)当时，的取值范围是____________．

知识点3、二次函数的图象与性质

1.二次函数图象与性质

2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系

项目

字母

字母的符号

图象的特征

a

a＞0

开口向上

a＜0

开口向下

b

ab＞0(a，b同号)

对称轴在y轴左侧

ab＜0(a，b异号)

对称轴在y轴右侧

c

c=0

图象过原点

c＞0

与y轴正半轴相交

c＜0

与y轴负半轴相交

b2-4ac

b2-4ac=0

与x轴有唯一交点

b2-4ac＞0

与x轴有两个交点

b2-4ac＜0

与x轴没有交点

【课前热身】

1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（???）

A． B． C． D．

2．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）若抛物线经过点和点，试比较与的大小．

3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称．

(1)求该抛物线的函数关系式和对称轴；

(2)求的面积．

知识4、求二次函数的最大（小）值的方法

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．

要点归纳：

如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．

【课前热身】

1．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（）

A． B．3 C． D．5

2．（24-25九年级下·天津和平·开学考试）二次函数的图象开口向，顶点坐标，当时y的取值范围的是．

3．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若是抛物线上不同的两点，求m的值；

(3)当时，直接写出y的取值范围：．

【类型1】把y=ax2+bx+c配成顶点式

1．（2025·贵州遵义·模拟预测）二次函数的顶点在第________象限？

A．一 B．二 C．三 D．四

2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）用配方法求二次函数的顶点坐标和对称轴．