一元二次方程的解法：公式法 (6大考点精准练+2大易错点+过关检测) (学生版)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

人教版九年级数学

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一元二次方程的解法：公式法

（6大考点精准练+2大易错点+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：X大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1公式法解一元二次方程

1.求根公式的推导：

一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．

对上面这个方程进行讨论：因为，所以

当时，

利用开平方法，得：， 即：

当时，

这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．

2.一元二次方程（）的求根公式

一元二次方程（），当时，有两个实数根：

，

3用公式法解一元二次方程一般步骤

把一元二次方程化成一般形式（）；

确定a、b、c的值；

求出的值（或代数式）；

若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．

知识点2根的判别式

1.一元二次方程根的判别式：

我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．

2.一元二次方程根的情况

3.根的判别式的应用

（1）不解方程判定方程根的情况；

（2）根据参数系数的性质确定根的范围；

（3）解与根有关的证明题．

【题型1】一元二次方程的求根公式

1．以为根的一元二次方程可能是

A． B． C． D．

2．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是

A． B． C． D．

3．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为

A． B． C． D．

【题型2】公式法解一元二次方程

4．用公式法解下列方程：

（1）；（2）；

．

5．用公式法解下列方程．

（1）；（2）；

（3）．

6．用公式法解下列各方程：

（1）（2）

（3）．

【方法点睛】公式法解一元二次方程的步骤

1.化：先把方程化为一般形式：ax2十bx+c=0(a≠0).

2.定：确定a,b,c的值.

3.算：算出b2一4ac的值.

4.求：当b2-4ac≥0时，把a,b及b2一4ac的值代入一元二次方程

的求根公式，求得方程的根；当b2一4ac0时，方程没有实数根

【题型3】不解方程判断一元二次方程的根的情况

7．关于的一元二次方程的根的情况是

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

8．一元二次方程的根的情况是

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．有一个实数根 D．没有实数根

9．关于的方程的根的情况是．

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根 D．无法确定

【题型4】已知解的情况求字母的值

10．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是

A． B． C． D．

11．若关于的方程有实数根，则实数的取值及范围为．

12．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围为．

【方法点睛】

应用判别式的两点注意

(1)判别式只适合一元二次方程，不适合其他方程

(2)注意隐含条件，即二次项系数a≠0.

【题型5】根的判别式的综合应用

13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若为正整数，求此时方程的根．

14．已知关于的一元二次方程有实根．

（1）求的取值范围；

（2）当取最大整数时，求该方程的两个根．

15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求实数的取值范围；

（2）若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值．

【方法点睛】

应用判别式求字母的取值范围的思路：

在利用根的判别式求待定字母的取值范围时，首先要根据方程的根的情况判断b2一4ac与0的大小

关系，然后利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式（组），最后求解，

【题型6】根的判别式与三角形问题

16．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为△三边的长．

（1）若该△是等边三角形，求该方程的根；

（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状，并说明理由．

17．已知关于的方程．

（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；

（2）若等腰△的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？

18．已知关于的方程．

（1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根；

（2）若等腰△的一边长，另两边，的长恰好是这个方程的两个根，求△的周长．

【易错点1】忽视应用根的判别式的前提

关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围

A． B．且 C．