一元二次方程的解法：配方法 (8大考点精准练+2大易错点+过关检测) (学生版)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

人教版九年级数学

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一元二次方程的解法：配方法（9大考点精准练+2大易错点+过关检测）

知识点1：直接配平方法

形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；

如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．

方程x2＝p的解的情况：

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．

③方法是根据平方根的意义开平方．

知识点2：配方法

（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

要点诠释：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

【题型1】用直接开方法解方程

1．用直接开方法解方程．

（1）（2）

（3）（4）．

2．用直接开平方法解下列一元二次方程：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

3．用直接开平方法解下列方程：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

【方法点睛】

用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数p的形式.只有当p为非负数时，方程才有解.当p0时，要注意开方的结果取“正、负”两种情况

【题型2】直接开平方法的应用

4．关于的方程，下列说法正确的是

A．有两个解 B．当时，有两个解

C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根

5．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是

A．1，4 B．1， C．2， D．3，0

6．已知甲方程式为，乙方程式为．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？

A．甲有两个相异的解，乙无解

B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解

C．甲有两个相同的解，乙无解

D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解

【方法点睛】

直接开平方法只适用于解能转化为x2=p或(mx十n)2=p(m≠0)的一元二次方程，当p0时，方程没有实数根.

【题型3】配方

7．将一元二次方程配方后可化为

A． B． C． D．

8．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是

A． B． C． D．

9．若关于的一元二次方程可配成，的形式，．

【题型4】配方法解方程

10．解方程：．

11．利用配方法解方程：．

12．用配方法解下列方程：

（1）（2）

（3）（4）．

13．用配方法解下列方程：

（1）（2）

（3）（4）

．

【方法点睛】

1.用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需的形式配方是为了降次，利用平方根的定义把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解

2.特别提醒：配方时易出现的错误

(1)移项忘记变号，

(2)系数化为1时漏项

(3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方，

【题型5】用配方的非负性求代数式的值

14．已知，求的值为

A．3 B．6 C．9 D．27

15．已知，，满足，，，则的值为

A． B．5 C．6 D．

【题型6】用配方法求代数式的最值

16．探究代数式的最小值时，我们可以这样处理：

因为，

所以当时，的值最小，最小值是0．

所以．

所以当时，的值最小，最小值是1．

所以的最小值是1．

依据上述方法，解决下列问题：

（1）当时，有最小值是；

（2）多项式有最（填“大”或“小”值，该值为；

（3）已知，求的最小值．

17．上数学课时，胡老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答问题：求代数式的最小值．

同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：．

因为，

所以当时，的值最小，最小值是0．

所以，

所以有最小值，最小值是1．

请你根据上述方法，解答下列问题：

（1）知识再现：求代数式的最小值；

（2）知识运用：代数式有最