二次根式与勾股定理 (重点速记+12大核心考点+复习提升) (学生版)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

人教版九年级数学

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二次根式与勾股定理（12大核心考点）

知识点1二次根式的概念与性质

1．二次根式的有关概念

一般地，我们把形如_________________的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

注意：

（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．

（2）被开方数必须是________，如和都不是二次根式．

（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．

（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有_______________性．

2.二次根式的性质：

（1）．

（2）．一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数

（3）．一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值

（4）．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积

（5）．两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根

3．最简二次根式

被开方数不含________；被开方数中不含__________________________________．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

知识点2二次根式的有关计算

1.二次根式的乘法：

（1）．

（2）逆用：

（3）推广：①

②

2．二次根式的除法：

（1）

（2）逆用：

（3）推广：①

②，其中．

3．二次根式的加减

（1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____________，再将_____________的二次根式进行合并．

（2）步骤：

①将各个二次根式化成最简二次根式；

②找出化简后被开方数相同的二次根式；

③合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变．

（3）注意：

①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分．

②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用．

③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式．

4．二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．

（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用．

（3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式．

知识点3勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于_____________.如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么_____________.

注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：，，.

知识点4勾股定理证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

知识点5勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足_____________，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

考点一：二次根式的有关定义

例1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（???）

A． B． C． D．

【变式训练】1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（???）

A． B． C． D．

2．（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（???）

A． B． C． D．

3．（24-25八年级下·广东江门·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为．

考点二：二次根式的性质

例2．