2024—2025学年广东省广州市玉岩中学高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年广东省广州市玉岩中学高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知，，且，则（）

A．2

B．3

C．

D．

(★)2.直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（）

A．，6

B．，

C．，6

D．，

(★★)3.一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”下列结论是判断错误的是（）

A．与互斥

B．，

C．

D．，为对立事件

(★★)5.平面上、、三点不共线，设，，则的面积等于（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（）

A．米

B．米

C．米

D．米

(★★★)7.已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（）

A．

B．

C．

D．2

二、多选题

(★★)9.从这20个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则对下列事件概率描述正确的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)10.1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知的顶点，重心，则下列说法正确的是（）

A．点的坐标为

B．为等边三角形

C．欧拉线方程为

D．外接圆的方程为

(★★★)11.在平行六面体中，，若，其中，则下列结论正确的为（）

A．若点在平面内，则

B．若，则

C．当时，三裬锥的体积为

D．当时，长度的最小值为

三、填空题

(★★)12.有甲?乙两台机床生产某种零件，甲生产出正品且乙生产出次品的概率为，乙生产出正品且甲生产出次品的概率为，每台机床生产出正品的概率均大于，则甲?乙同时生产这种零件，至少有一台生产出正品的概率是__________.

(★★)13.设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________.

(★★★★)14.已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为_______.

四、解答题

(★★★)15.某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）.现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时.

(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；

(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.

(★★★)16.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深入而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.基于上述事实，完成以下两个问题：

(1)已知，，若，求点的轨迹方程；

(2)已知点在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得恒成立，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

(★★★)17.如图所示，在三棱柱中，，是的中点.

(1)用表示向量；

(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.

(★★★)18.如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.

（1）求证：