27.1 图形的相似（知识讲解）-九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docxVIP

专题27.1 图形的相似（知识讲解） 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 特别说明：　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 特别说明： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【典型例题】 类型一、比例的性质 1． 已知xyz≠0且＝k，求k的值． 【答案】k＝2或－1 【分析】分两种情形讨论，①当x＋y＋z≠0时，根据已知条件可得，进而求得，②当x＋y＋z＝0时， 即可得． 解：∵xyz≠0 ∴x≠0，y≠0，z≠0， ①当x＋y＋z≠0时， ∵＝k， 上面三个式子相加得： ∴k＝2； ②当x＋y＋z＝0时， x＋y＝－z， 则 ∴k＝－1． 综上所述，k＝2或－1． 【点拨】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质，分类讨论是解题的关键． 举一反三： 【变式1】已知： a∶b∶c＝3∶5∶7且2a＋3b－c＝28， 求3a－2b＋c的值． 【答案】12 【分析】设a=3k，b=5k，c=7k，然后代入2a+3b-c=28求出k的值，从而得出a、b、c的值，然后再把它们的值代入3a-2b+c即可． 解：∵a∶b∶c＝3∶5∶7 设a＝3k，b＝5k，c＝7k ∵2a＋3b－c＝28 ∴6k＋15k－7k＝28， ∴k＝2 ∴3a－2b＋c＝9k－10k＋7k＝6k＝12 【点拨】本题考查了比例的性质，解题的关键是找出最简洁的方法设a=3k，b=5k，c=7k，再利用这个等量关系，通过设参数k， 转化成关于k的一元方程，求出k后，使得问题得解． 【变式2】.如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？ 【答案】矩形ABFE是黄金矩形．理由见解析． 【分析】由四边形CDEF为正方形，可得DE=DC=CF=EF，可得，由，可求即可． 解：矩形ABFE是黄金矩形，理由如下： ∵四边形CDEF为正方形， ∴DE=DC=CF=EF， ∴， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC， ∵， =， ， ∴矩形ABFE也是黄金矩形． 【点拨】本题考查黄金矩形的判定与性质，正方形性质，掌握黄金矩形的判定与性质，正方形性质是解题关键． 类型二、线段的比 2． 已知三条线段 满足 ，且 ． （1）求 的值； （2）若线段 是线段 和 的比例中项，求 的值． 【答案】（1）a=6，b=4，c=7；（2）d= 【分析】（1）设，用含k的代数式分别表示出，再由a+b+c=17，建立关于k的方程，解方程求出k的值，从而可求出的值． （2）由已知线段??是线段??和??的比例中项，可得到d2=ab，代入计算求出d的值． （1）解：设 ∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1 ∵a+b+c=17 ∴3k+2k+4k-1=17 解之：k=2 ∴a=6，b=4，c=7． （2）解：∵线段??是线段??和??的比例中项 ∴d2=ab=6×4=24 解之：d=． 【点拨】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设法”用表示出、、可以使计算更加简便． 举一反三： 【变式1】（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）﹣；（2） 【分析】（1）依据比例的性质可得到2b=1.5a，然后代入计算即可； （2）设=k（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k，然后代入计算即可． 解：（1