高考数学母题：归纳猜测.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(10-34):归纳猜测(227) 613 归纳猜测 [母题]Ⅰ(10-34):(2010年湖南高考试题)若数列{an}满足:对任意的n∈N+,只有有限个正整数m使得amn成立,记这样的m的个数为(an)*,则得到一个新数列{(an)*}.例如,若数列{an}是1,2,3,…,n,…,则数列{(an)*}是0,1,2, …,n-1,….已知对任意的n∈N+,an=n2,则(a5)*= ,((an)*)*= . [解析]:由n25n=1,2(a5)*=2;{(an)*}={0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,…}(2n+1个n)((a1)*)*=1,((a2)*)*=4,((a3)*)* =9,…((an)*)*=n2. [点评]:归纳推理是研究数列问题的重要手段,基本程序是:第一步,根据己知条件逐步求出数列的前几项;第二步,由求出的数列前几项,分析研究数列各项的规律,猜测出数列的通项公式;第三步,证明你的猜测. [子题](1):(2011年江西高考试题)(理)观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为( ) (A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125 [解析]:设an=5n+4的末四位数字,则a1=3125,a2=5625,a3=8125,a4=0625,a5=3125{an}是以4为周期的周期数列52011的末四位数字=a2007=a3=8125.故选(D). 注:“归纳.猜测.证明”是解决数列问题的专用方法,在周期数列的研究中更显有力. [子题](2):(2014年全国高中数学联赛B试题)实数列{an}满足条件:a1=+1,a2=+1,an+1+an-1=+2(n≥2),则通项公式an= (n≥1). [解析]:由a1=+1,a2=+1,an+1+an-1=+2a3=+1,a4=2+1,…,猜测an=+1. 注:归纳法是由特殊到一般的猜测,其正确性有待论证,而这由数学归纳法易于完成. [子题](3):(2009年湖南高考试题)将正△ABC分割成n2(n≥2,n∈N*)个全等的 小正三角形(图1,图2分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数, 使位于△ABC的三边及平行于某一边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时) 都分 别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数的和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),则有f(2)=2,f(3)= ,f(n)= . [解析]:设点A,B,C处的数分别为a,b,c,则a+b+c=1.①f(2)=2=;②当n=3时,AB上的数分别为a,a+(b-a), a+(b-a),b,其和为2(a+b),同理可得BC,CA边上数的和分别为2(b+c),2(c+a),且中心上的数为(a+b+c)f(3)=2(a+ b)+2(b+c)+2(c+a)+(a+b+c)-(a+b+c)==;③当n=4时,f(4)=5=,猜测f(n)=. 注:归纳猜测需要的是猜测的结果,猜测的结果是建立在归纳的基础之上的,归纳的关键是对已有的结果进行整理,使之成为序号n的一个统一的函数式,或首先归纳出一个待定的函数式,然后分别归纳函数式中的各个系数. [子题系列]: 1.(2011年江西高考试题)(文)观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72011的末两位数字为( ) (A)01 (B)43 (C)07 (D)49 2.(2012年江西高考试题)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( ) (A)28 (B)76 (C)123