高考数学母题：余弦定理.docVIP

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(13-02):余弦定理(297) 747 余弦定理 [母题]Ⅰ(13-02):(余弦定理)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c, 则:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC. [解析]:如图,在△ABC中,由=-a2=2=(-)2=2+2-2=||2+ ||2-2||||cosA=b2+c2-2bccosA;同理可得:b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC. [点评]:余弦定理与正弦定理是等价的,基本变形:①cosA=;cosB=;cosC=;②sin2A= sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA,sin2B=sin2C+sin2A-2sinCsinAcosB,sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC;③(逆定理)若正数a、b、c和分别与之对应的三个小于1800的正角A、B、C满足:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC,则a、b、c三个数所对应的线段和三个角A、B、C一定能够构成唯一的三角形. [子题](1):(2008年安徽高考试题)在三角形ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:在△ABC中,由余弦定理得:cos∠BAC==-;又因A∈(0,π)∠BAC=.故选(A). 注:余弦定理应用的基本题型:①己知两边及其夹角,求第三边;②已知三边或三边的比,求三内角. [子题](2):(2008年福建高考试题)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a2+c2-b2=ac,则角B的值为( ) (A) (B) (C),或 (D),或 [解析]:在△ABC中,由余弦定理得:cosB===;又因A∈(0,π)B=.故选(A). 注:与余弦定理相关的一个特殊结论:a2+b2-c2=mabcosC=. [子题](3):(2010年湖南高考试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=1200,c=a,则( ) (A)ab (B)ab (C)a=b (D)a与b的大小关系不能确定 [解析]:在△ABC中,由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC2a2=a2+b2+aba2-ab=b2a2b2ab.故选(A). 注:在三角形中,若己知某一角,则可利用余弦定理建立三边间的关系,解决相关问题. [子题系列]: 1.(2007年重庆高考试题)在△ABC中,AB=1,BC=2,B=600,则AC= . 2.(2012年陕西高考试题)在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2,B=,c=2,则b= 3.(2013年上海春招试题)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=5,c=8,B=600,则b= . 4.(2009年广东高考试题)己知△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a=c=+,且∠A=750,则b=( ) (A)2 (B)- (C)4-2 (D)4+2 5.(2014年北京高考试题)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=,则c= ;sinA= . 6.(2008年湖北高考试题)(文)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,己知a=,b=3,C=300,则A= . 748 [母题]Ⅰ(13-02):余弦定理