高考数学母题：和角公式.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(6-09):和角公式(125) 371 和角公式 [母题]Ⅰ(6-09):(2010年四川高考试题)(Ⅰ)证明两角和的余弦公式C(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; (Ⅱ)由Cα+β推导两角和的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. [解析]:(Ⅰ)如图,设角α、α+β、-β的终边分别交单位⊙O于B、C、D,A(1,0),则 B(cosα,sinα),C(cos(α+β),sin(α+β)),D(cos(-β),sin(-β)),且|AC|=|BD| [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cosα-cos(-β)]2+[sinα-sin(-β)]2[cos(α+β) -1]2+sin2(α+β)=(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)22-2cos(α+β)=2-2cosαcosβ+2sinαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; (Ⅱ)由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]=cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)=sinαcosβ+cosαsinβ. [点评]:由两角和的余弦公式C(α+β)可得两角和与 差的三角函数公式,它们之间的逻辑关系如图. [子题](1):(2010年课标高考试题)若sinα=-,α是第三象限的角,则sin(α+)=( ) (A)- (B) (C)- (D) [解析]:由α是第三象限的角cosα0;又由sinα=-cosα=-sin(α+)=sinαcos+cosαsin= (sinα+cosα)=-.故选(A). 注:两角和与差的三角函数公式是三角函数的基本,且重要的公式,需准确记忆. [子题](2):(2012年重庆高考试题)设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根,则tan(α+β)的值为( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 [解析]:由题知得tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2tan(α+β)==-3.故选(A). 注:两角和与差的三角函数公式可与许多知识结合,本题把两角和的正切公式与一元次方程有机整合. [子题](3):(2006年山东高考试题)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则tanαcotβ= . [解析]:由sin(α+β)=,sin(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβ=,sinαcosβ-cosαsinβ=;两式相加得: sinαcosβ=,两式相减得:cosαsinβ=tanαcotβ==5. 注:由两角和与差的三角函数公式可变形出许多子公式,由此解决问题体现了“整体处理”的理念. [子题系列]: 372 [母题]Ⅰ(6-09):和角公式(125) 1.(2004年北京春招试题)的值为 . 2.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)已知sinαcosβ=1,则sin(α+β)的值( ) (A)不确定,可在[0,1]内取值 (B)不确定,可在[-1,1]内取值 (C)确定,等于1 (D)确定,等于1或?1 3.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)已知A:|sinα|=|sinβ|,B:sin(α+β)=0,则( ) (A)由A可推出B,但由B推不出A (B)由B可推出A,但由A推不出B (C)由A可推出B,由B也可推出A (D)由A推不出B,由B也推不出A 4.(2002年安徽春招试题)如果cosθ=