高考数学母题：余弦定理三种功能.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 213 [中国高考数学母题](第068号) 余弦定理.三种功能 余弦定理把三角形三边与三个内角之间建立了联系,她是解三角形的又主要一工具之;仅利用余弦定理可解决解三角形的二个基本题型和特殊题型;余弦定理还有边角互换的重要作用. [母题结构]:(余弦定理)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,则:a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC. [母题解析]:如图,在△ABC中,由=-a2=2=(-)2=2+2-2=||2+||2-2|| ||cosA=b2+c2-2bccosA;同理可得:b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC. 1.基本题型 子题类型Ⅰ:(2008年安徽高考试题)在三角形ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:在△ABC中,由余弦定理得:cos∠BAC==-;又因A∈(0,π)∠BAC=.故选(A). [点评]:余弦定理应用的基本题型:①己知两边及其夹角,求第三边;②已知三边或三边的比,求三内角;在三角形中,若一个内角给出,则可使用该角对应的余弦定理. [同类试题]: 1.(2012年陕西高考试题)在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2,B=,c=2,则b= 2.(2010年湖南高考试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=1200,c=a,则( ) (A)ab (B)ab (C)a=b (D)a与b的大小关系不能确定 2.特殊题型 子题类型Ⅱ:(2001年全国高中数学联赛试题)如果满足∠ABC=600,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是( ) (A)k=8 (B)0k≤12 (C)k≥12 (D)0k≤12,或k=8 [解析]:设c=x,由b2=a2+c2-2accosCx2-kx+k2-144=0;△ABC恰有一个该方程恰有一个正实根(-k)2-4(k2-144)=0,或(-k)2-4(k2-144)0且k2-144≤0k=8,或0k≤12.故选(D). [点评]:己知二边a,b(b≤a)及其中一边b的对角B,利用b2=a2+c2-2accosB,求c;△ABC有两解、一解或无解函数f(x)= x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根). [同类试题]: 3.(2015年广东高考试题)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若a=2,c=2,cosA=且bc,则b=( ) (A)3 (B)2 (C)2 (D) 4.(2014年全国高中数学联赛江苏预赛试题)若满足∠ABC=,AC=3,BC=m的△ABC恰有一解,则实数m的取值范围是 . 3.边角互换 子题类型Ⅲ:(2010年江苏高考试题)在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,=6cosC,则= . [解析]:由=6cosC=6a2+b2=c2abcosC=(a2+b2)=c2=(+ )=====4. 214 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 [点评]:余弦定理的重要作用是边角互换,相关的一个特殊结论:a2+b2-c2=mabcosC=. [同类试题]: 5.(2012年湖北高考试题)设△ABC的内角A,B,C,所对的边分别是a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= . 6.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,如果a2+b2=6c2,则(cotA+cotB)tanC的值等于 . 4.子题系列: 7.(2006年北京高考试题)在△ABC中,若sinA:sinB:sinC=5:7:8,则∠B的大小是 . 8.(2008年湖北高考试题)在△ABC中,三个角A、B、C