高考数学母题：恒等赋值韦达定理及简化应用.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 579 [中国高考数学母题](第169号) 恒等赋值.韦达定理及简化应用 在解析几何中,若直线l与曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2),常遇到求关于x1与x2的对称式的值,一般情况下,均是利用韦达定理求解,但对有些式子,使用韦达定理,迂回曲折;利用恒等式,可整体代入,避开韦达定理,直接求解. [母题结构]:若x1,x2是二次函数f(x)=Ax2+Bx+C(A≠0)的两个零点,则:①(韦达定理)x1+x2=-,x1x2=;②(恒等赋值) (x1+t)(x2+t)=f(-t). [母题解析]:①略;②由x1,x2是二次函数f(x)=Ax2+Bx+C(A≠0)的两个零点f(x)=A(x-x1)(x-x2)f(-t)=A(t+x1)(t+ x2)(x1+t)(x2+t)=f(-t). 1.韦达定理 子题类型Ⅰ:(2016年四川高考试题)已知椭圆E:+=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E上.(Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为 M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA||MB|=|MC||MD|. [解析]:(Ⅰ)由a=2b,+=1b2=1,a2=4椭圆E:+y2=1; (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=x+m,代入+y2=1得x2+2mx+2m2-2=0x1+x2=-2m,|AB|=M(-m,) 直线OM:y=-x,代入+y2=1得C(-,),D(,-)|MC||MD|=(10-5m2)=|MA||MB|. [点评]:韦达定理在解析几何中有着广泛的应用,如弦长公式的证明、中点问题都可利用韦达定理解决;关注韦达定理在解析几何中的应用,是研究解析几何的基础. [同类试题]: 1.(2010年课标高考试题)设F1、F2分别是椭圆E:x2+=1(0b1)的左、右焦点,过F1的直线l 与E相交于A、B两点.且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (Ⅰ)求|AB|; (Ⅱ)若直线l的斜率为1,求b的值. 2.恒等赋值 子题类型Ⅱ:(2010年四川高考试题)已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N. (Ⅰ)求E的方程; (Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由. [解析]:(Ⅰ)由二次曲线的第二定义知,轨迹为E是以F为右焦点,l为右准线的双曲线:-=1(a0,b0)a2+b2=4, 580 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 =a2=1,b2=3E的方程:x2-=1(y≠0); (Ⅱ)①当BC⊥x轴时,B(2,3),C(2,-3)M(,),N(,-)=(-,),=(-,-)=0; ②当BCx轴时,设B(x1,y1),C(x2,y2),BC:y=k(x-2)(k≠0),由(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0(k≠) f(x)=(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=(3-k2)(x-x1)(x-x2)(x1+1)(x2+1)=f(-1)=,(x1-2)(x2-2)=f(2)= y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=-;由AB:y=(x+1),AC:y=(x+1)M(,),N(,)=(- ,),=(-,)=0.综上,=0以线段MN为直径的圆过点F. [点评]:若点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线AB:y=kx+m,且x1,x2是方程f(x)=Ax2+Bx+C=0(A≠0)的两根,则:①(x1-x0) (x2-x0)=f(x0);②y1y2=f(-);由此可解决与(x1-x0)(x2-x0)及y1y2有关的问题,如的有关问题. [同类试题]: 2.(2006年北京高考试题)己知点M(-2,0)、N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,记动点P的轨迹为W. (Ⅰ)求W的方程; (Ⅱ)若A、B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值. 3.转化赋值 子题类型Ⅲ:(2015年课标Ⅱ高考试题)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能,求此