高考数学母题：以数助形巧分折妙解曲线把关题.docVIP

第6讲:以数助形巧分折.妙解曲线把关题 45 第6讲:以数助形巧分折.妙解曲线把关题 高考中的二次曲线问题具有知识性、方法性和综合性,并着重于对“数形结合”的考察,掌握用“数”研究“形”,以数助形,分析、解决问题的思想方法,并且充分挖掘蕴含的几何本质,以“形”助“数”,减少计算量,妙解几何题. 例1:抛物线的定义. [始源问题]:(2009年四川高考试题)己知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) (A)2 (B)3 (C) (D) [解析]:如图,因直线l2:x=-1恰是抛物线y2=4x的准线,所以,动 y 点P到直线l2的距离等于点P到抛物线y2=4x的焦点F(1,0)的 P 距离,因此,动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是焦 O F x 点F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离=2,故选(A). l1 l2 根据抛物线的定义,抛物线上任意一点P到抛物线的焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离,因此我们即可以把抛物线上一点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,也可以把抛物线上一点到焦点的距离转化为该点到准线的距离;同时由抛物线的定义还可得到:抛物线上任意一点到焦点距离的最小值是顶点到焦点的距离等于. [原创问题]:己知点P在焦点为F的抛物线y2=2px(p0)上,点A(3,0).如果|PA|+|PF|的最小值为5,则p= . [解析]:|PF|=点P到准线:x=-的距离d|PA|+|PF|=|PA|+d≥3+=5p=4. [原创问题]:己知点P在抛物线y2=16x上,点Q在圆x2+(y-3)2=1上,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线距离之和的最小值是( ) (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 [解析]:圆x2+(y-3)2=1圆心E(0,3),半径r=1,抛物线的焦点F(4,0);点P到准线的距离d=|PF||PQ|+d=|PQ|+|PF|≥|EF|-r=5-1=4.故选(B). [原创问题]:己知点P在焦点为F的抛物线y2=2px(p0)上,那么以线段PF为直径的圆M( ) (A)恒与x轴相切 (B)恒与y轴相切 (C)恒过焦点外的另一定点 (D)以上均不正确 [解析]:设抛物线的准线l与x轴交于点E,PQ⊥l于Q,MN⊥l于N,交y轴于点H,则|PF|=|PQ|,圆M的半径r=|PF|= |PH|;因|NH|=,|PE|=p,|MN|=(|PQ|+|FE|)=|PQ|+=r+|NH||MH|=|MN|-|NH|=r圆M与y轴相切.故选(B). 例2:双曲线的定义. [始源问题]:(1999年全国高中数学联赛试题)已知点P在双曲线=1上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,P的横坐标是_____. [解析]:设P到双曲线右准线的距离是d,由|PF2|=ed=d|PF1|=d8d+(d8)=2dd=16P的横坐标是 -16(P不能在右支上). [原创问题]:定长为13的线段AB的两个端点在双曲线=1的右支上移动,那么,AB中点M的横坐标的最小值为 . [解析]:设双曲线的右焦点为F,分别过点A,B作右准线的垂线,垂足分别为D,C,则AB中点M的横坐标=(|AD|+|BC|)- 46 第6讲:以数助形巧分折.妙解曲线把关题 =(|AF|+|BF|)-≥|AB|-=m-=-=2. [原创问题]:F1,F2是双曲线x2-3y2=3的左、右焦点,A,B两点在右支上,且与F2在同一直线上,则|F1A|+|F1B|的最小值是 . [解析]:由|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a|F1A|+|F1B|=4a+|AB|