高考数学母题：恒成立问题.docVIP

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(11-20):恒成立问题(255) 683 恒成立问题 [母题]Ⅰ(11-20):(2006年上海高考试题)三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1,12]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说:“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.丙说:“把不等式两边看成x的函数,作出函数图象”.参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a的取值范围是 . [解析]:按乙说:“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.由x2+25+|x3-5x2|≥ax(x∈[1,12]x0)a≤(x+)+|x2-5x|(f(x)=x+,g(x)=|x2-5x|fmin(x)=f(5)=10,gmin(x)=g(5)=0F(x)=(x+)+|x2- 5x|的最小值=F(5)=10)a≤10,故a的取值范围是(-∞,10]. [点评]:不等式恒成立问题是不等式的特殊问题,就其中所含变量的多少可分为两类:单元问题、多元问题,本节研究单元问题;解决恒成立问题的根本出发点是:认清不等式F(x,a)≥0是关于哪个变量恒成立？关于哪个变量恒成立,就要把F(x,a)视为这个变量的函数,通过研究这个函数来解决问题;恒成立的基本定理:①不等式f(x)≥m恒成立f(x)min≥m; ②不等式f(x)≤M恒成立f(x)max≤M. [子题](1):(2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知函数f(x)=x2-(p+1)x+2p+1,如果对于闭区间[-1,1]中的任意的p值,都有f(x)0,那么x的取值范围是 . [解析]:由f(x)=x2-(p+1)x+2p+1=(2-x)p+x2-x+1;令g(p)=(2-x)p+x2-x+1(是p的一次函数),所以,p∈[-1,1],f(x)0恒成立p∈[-1,1],g(p)0恒成立g(1)0且g(-1)0x∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 注:认清不等式F(a,b)≥0是关于哪个变量恒成立？关于哪个变量恒成立,就要把F(x,a)视为这个变量的函数,通过研究这个函数来解决问题. [子题](2):(2012年全国高中数学联赛天津预赛试题)如果对一切正实数x、y不等式-cos2x≥asinx-都成立,则实数a的取值范围是 . [解析]:由cos2x+asinx≤+对一切正实数y恒成立(+≥3)cos2x+asinx≤3(令t=sinx∈[-1,1])t2-at+2≥0;①当t=0时,不等式成立;②当0t≤1时,t2-at+2≥0a≤t+a≤3;③当-1≤t0时,t2-at+2≥0a≥t+ a≥-3.综上,a的取值范围是[-3,3]. 注:在多元不等式恒成立中,先确定一个变量,以这个变量为主元,由恒成立的基本定理,得到不含该变量的不等式,如此下去,最后得到关于待求常量的不等式,解此不等式,得到待求常量的取值范围.该方法称为主元法. [子题](3):(2010年天津高考试题)设函数f(x)=x2-1,对任意x∈[,+∞),f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是 . [解析]:由f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)-4m2x2≤x2-2x-3-4m2≤ -3()2-2+1在[,+∞)上恒成立(y=-3()2-2+1在[,+∞)上的最小值=-)-4m2≤-(3m2+1)(4m2 -3)≥0m∈(-∞,-]∪[,+∞). 684 [母题]Ⅰ(11-20):恒成立问题(255) 注:对不等式F(x,a)≥0恒成立,求参数a的取值范围.首先对不等式F(x,a)≥0进行等价变形,使得F(X,a)≥0f(x)≥(≤)g(a)(有时需要分类变形),然后通过求不含参数a的函数f(x)的最值,解决问题.该方法称为分离参数法. [子题系列]: 1.(2009年复旦大学保送生考试试题)若实数x满足:对任