高考数学母题：含参数的不等式有解问题的解题策略.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 含参数的不等式有解问题的解题策略 含参数的不等式有解的等价命题 不等式恒成立与不等式有解是不等式的相互独立,且互斥两个方面问题,不等式恒成立与不等式有解有着本质的区别,掌握它们之间的区别和不等式有解的等价命题,是解决不等式有解问题的关键. [母题结构]:(Ⅰ)不等式f(x)k在x∈D时有解fmin(x)k(x∈D),或f(x)的下确界k; (Ⅱ)不等式f(x)k在x∈D时有解fmax(x)k(x∈D),或f(x)的上确界k. [母题解析]:以上结论可直接应用,与不等式恒成立的等价命题对比,可加深理解,利于掌握. 1.等价命题 子题类型Ⅰ:(2014年课标Ⅰ高考试题)设函数f(x)=alnx+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0. (Ⅰ)求b; (Ⅱ)若存在x0≥1,使得f(x0),求a的取值范围. [解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞);由f(x)=alnx+x2-bx(x)=+(1-a)x-b;由(1)=0b=1; (Ⅱ)由(x)=+(1-a)x-1=(x-)(x-1);①当≤1,即a≤,或a1时:(i)当a≤时,(x)≥0f(x)在(1,+∞)内单调递增fmin(x)=f(1)=-1,所以,存在x0≥1,使得f(x0)fmin(x)-1a∈(--1,-1);(ii)当a1时,(x)≤0f(x)在(1,+∞)内单调递减fmax(x)=f(1)=-;②当1,即a1时,f(x)在(1,)内单调递减,在(,+∞)内单调递增fmin(x)=f()=aln+()2- ,不合题意.综上,a的取值范围为:(--1,-1)∪(1,+∞). [点评]:当f(x)在x∈D时,存在最小值时,不等式f(x)k在x∈D时有解fmin(x)k;当f(x)在x∈D时,不存在最小值时,不等式f(x)k在x∈D时有解f(x)的下确界k. 2.图像分析 子题类型Ⅱ:(2014年江苏高考试题)已知函数f(x)=ex+e-x,其中,e是自然对数的底数. (Ⅰ)证明:f(x)是R上的偶函数; (Ⅱ)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围; (Ⅲ)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)a(-x03+3x0)成立,试比较ea-1与ae-1的大小,并证明你的结论. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=ex+e-xf(-x)=e-x+ex=f(x)f(x)是R上的偶函数; (Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,由mf(x)≤e-x+m-1m(ex+e-x-1)≤e-x-1m≤;令t=ex1,则==- ≥-,当且仅当t=2时等号成立.故实数m的取值范围是(-∞,-]; (Ⅲ)当x∈[1,+∞)时,由(x)=ex-e-x0f(x)在[1,+∞)内单调递增;令g(x)=a(-x3+3x),则(x)=-3a(x+1)(x-1) g(x)在[1,+∞)内单调递减;所以,存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)a(-x03+3x0)成立f(1)g(1)e+e-12aa(e+e-1); 由ea-1与ae-1的大小a-1与(e-1)lna的大小;令h(x)=(e-1)lnx-(x-1)(x(e+e-1)),则(x)=-1=-[x-(e-1)] h(x)在((e+e-1),e-1)内单调递增,在(e-1,+∞)内单调递减hmax(x)=h(e-1)h(e)=0,又h((e+e-1))h(1)=0;①当(e+e-1)ae时,ea-1ae-1;②当a=e时,ea-1=ae-1;③当ae时,ea-1ae-1. [点评]:对于含参数a的函数f(x),不等式f(x)k在x∈D时有解,可对不等式f(x)k进行等价变形,变为g(x)h(x)(变形目标是g(x)与h(x)的图像易于作出),然后,作出函数g(x)与h(x)的图像,利用数形结合思想,直观求解. 3.变式问题 子题类型Ⅲ:(2012年湖南高考理科试题)已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0. (Ⅰ)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合; (Ⅱ)在函数f(x)的图像上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使(x0)k成立？若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析]:(Ⅰ)若a0,则对一切x0,f(x)=eax-xeax1,与题设矛盾,故a0;由(x)=aeax-1=0x=lnf(x)在(-∞, ln)内单调递减,在(ln,+∞)内单调递增fmin(x)=f(ln)=-ln;所以,对一切x∈R,f(x)≥1恒