高考数学母题：与等差和等比数列相关的裂项模型.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 与等差和等比数列相关的裂项模型 一类数列求和或求和不等式的母题 与等差和等比数列相关的裂项模型可把等差和等比数列有机的综合,是生成符合目前高考试题的绝佳母题,构造如下. [母题结构]:己知{an}是公差为d的等差数列,则:(Ⅰ)=-;(Ⅱ)= =-. [母题解析]:(Ⅰ)由-==-;同理易证(Ⅱ). 1.特殊模型 子题类型Ⅰ:(2015年安徽高考试题)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. [解析]:(Ⅰ)由{an}是递增的等比数列a1a4,a1a4=a2a3=8,又由a1+a4=9a1=1,a4=8公比q满足:q3==8q=2 an=2n-1; (Ⅱ)由Sn==2n-1bn===-Tn=b1+b2+…+bn=(-)+(- )+(-)+…+(-)=-=1-=. [点评]:在=-中,当an=a(d=0)时,=-. 2.求和上界 子题类型Ⅱ:(2006年全国Ⅰ高考试题)设数列{an}的前n项和Sn=an-+,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求首项a1与通项an; (Ⅱ)设Tn=,n=1,2,3,….证明:. [解析]:(Ⅰ)在Sn=an-+中,令n=1得:S1=a1-+,并由a1=S1得a1=S1=2;又由Sn=an-+…① Sn+1=an+1-+…②,②-①得:Sn+1-Sn=an+1-an-+an+1=an+1-an-an+1=4an+2n+1=+ 令bn=,则b1=,bn+1=,所以,bn+1-bn=bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+ (b4-b3)+…+(bn-bn-1)=+[()2+()3+()4+… +()n]=1-()nan=4n[1-()n]=4n-2n; (Ⅱ)由(Ⅰ)知an=4n-2n,代入Sn=an-+得:Sn=(4n-2n)-+=(22n+2-3×2n+1+2)=(2n+1-2) (2n+1-1)=(2n- 1)(2n+1-1)Tn====. [点评]:当qn+an0时,数列{}的前n项和Sn,即Sn的上确界是. 3.放缩构造 子题类型Ⅲ:(2007年全国高中数学联赛江苏预赛试题)在数列{an}中,已知a1=2,an+1an+an+1-2an=0.对于任意正整数n,有M(M为常数,且M为整数),求M的最小值. [解析]:由an+1an+an+1-2an=01+-=0-1=(-1)-1=-()nan=ai(ai-1)=; ①≥a1(a1-1)=2;②当i≥2时,ai(ai-1)===- 2+(-)3M的最小值=3. [点评]:关注母题结构,进行合理的放缩构造,是灵活运用母题解决相关问题的关键. 4.子题系列: 1.(《中等数学》.2005年第9期.数学奥林匹克训练题(80))设数列{an}满足a1=a2=1,且an+1an-1=an2+nanan-1(n=2,3,…). (Ⅰ)求an; (Ⅱ)求. 2.(2010年湖南高考试题)给出下面的数表序列:其中表n(n=1,2,3 )有n行, 第1行的n个数是1,3,5,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的 两数之和. (Ⅰ)写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明); (Ⅱ)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,记此数列为{bn},求和:. 3.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知m为实数,数列{an}的前n项和为Sn,满足: Sn=an-×3n+m,且an≥对任何的正整数n恒成立.求证:当m取到最大值时,对任何正整数n都有. 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)由an+1an-1=an2+nanan-1=+n=n(n+1)an=a1…=; (Ⅱ)===-=-2. 2.解:(Ⅰ)表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的 等比数列; (Ⅱ)由bn=n2n-1==-=4-. 3.解:当n=1时,a1=8(4-m);当n≥1时,an=Sn-Sn-1=(16-3m)×9n-×3n;所以,an≥恒成立m≤,当m=时,Sn=(3n+1-1)(3n-1)===(-).