高考数学母题：和积关系法.docVIP

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(11-14):和积关系法(249) 671 和积关系法 [母题]Ⅰ(11-14):(2006年重庆高考试题)若a,b,c0,且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值是( ) (A)-1 (B)+1 (C)2+2 (D)2-2 [解析]:要求2a+b+c的最小值,首先应把该式分解为两式的和:2a+b+c=(a+b)+(a+c);再看这两式的积:(a+b)(a+c)=a2+ ab+ac+bc=a(a+b+c)+bc=4-2.故由基本不等式得:2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2=2=2-2.故选(D). [点评]:由基本不等式x+y≥2(x,y≥0)易知:①当x+y=2a为定值时,xy存在最大值a2;②当xy=a2为定值时,x+y存在最小值2a;该基本结论还指出了解决问题的方向,如要求f(x)+g(x)的最小值,则应从己知条件中寻找f(x)g(x)所等于的定值;而要求f(x)g(x)的最大值,则应从己知条件中寻找f(x)+g(x)所等于的定值. [子题](1):(1989年广东高考试题)如果0a1,0x≤y1,且logaxlogay=1,那么xy( ) (A)无最大值也无最小值 (B)无最大值而有最小值 (C)有最大值而无最小值 (D)有最大值也有最小值 [解析]:由0a1,0x≤y1logax0,logay0;又logaxlogay=1logax+logay有最小值无最大值loga(xy)有最小值无最大值,而0a1函数f(x)=logax单调递减xy有最大值而无最小值.故选(C). 注:应用基本不等式求最值的本质就是利用两式和与积的关系,即两式和为定值,则两式积有最大值,无最小值;两式积为定值,则两式和有最小值,无最大值;认识、掌握了和与积的这种关系,可速解存在最大值,还是最小值的判断型问题. [子题](2):(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2003年江苏省数学夏令营数学竞赛题)设x,y,z∈R+,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值是 . [解析]:由要求(x+y)(y+z)的最小值,首先应把该式分解为两式的和,并使这两式的积为定值,考虑到:(x+y)(x+z)=x2+ xy+xz+yz=x(x+y+z)+yz,且这两式的积:x(x+y+z)×yz=xyz(x+y+z)=1为定值;故有下述解答: 由(x+y)(x+z)=x2+xy+xz+yz=x(x+y+z)+yz≥2=2,等号成立的条件:x(x+y+z)=yz,又由xyz(x+y+z)=1 x(x+y+z)=yz=1y+z=-x-x=y+z≥2=2y=z,且-x=2x=-1,y=z=1(x+y)(y+z)的最小值是2. 注:对于在一定条件下,求多元函数的最值问题,首先应确定是求最大值,还是最小值;①如果是求最大值,就应把待求分解为两式的积,并结合已知条件,使这两式的和为定值;②如果是求最小值,就应把待求分解为两式的和,并结合已知条件,使这两式的积为定值.这是基本不等式应用的精华.本题是基本不等式应用的典型,其难点是由等号成立的条件求变量的值,本题中再次利用基本不等式的求解方法值得欣赏. [子题](3):(2010年四川高考试题)(理)设abc0,则2a2+-10ac+25c2的最小值是( ) (A)2 (B)4 (C)2 (D)4 [解析]:由2a2+-10ac+25c2=(a2-ab)++ab++a2-10ac+25c2=[a(a-b)+]+(ab+)+(a-5c)2≥2+2+0=4;等号成立的条件:a(a-b)=1,ab=1,a-5c=0a=,b=,c=最小值是4.故选(B). 注:本题是求已知式的最小值,所以,要构造积为定值的两式,考虑到式中含有,,故分别构造与之匹配的式 ab和a(a-b),从而顺利解决问题;由此可领悟和积关系法的使用技巧. 672