高考数学母题：以圆锥曲线的弦为直径圆的方程求法与应用.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 以圆锥曲线的弦为直径圆的方程求法与应用 构造一元二次方程,合成圆的方程 求以直线与二次曲线的两个不同交点为直径两端的圆方程是高考的一个热点问题,通过构造一元二次方程,可合成该圆的方程;应用它求该圆的方程,思路清晰,步骤简练,别具一格. [母题结构]:设直线l:y=kx+m(k≠0)与圆锥曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0交A、B两点,求以线段AB为直径的圆的方程. [母题解析]:由y=kx+m与ax2+cy2+dx+ey+f=0联立,消去y得:(a+ck2)x2+(2ckm+d+ek)x+cm2+em+f=0…①;消去x得:(a+ ck2)y2+(dk+ek2-2am)y+am2-dkm+k2f=0…②;由①+②即得以线段AB为直径的圆的方程;证明如下:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两根x1+x2=-,x1x2=;由y1,y2是方程②的两根y1+y2=-,y1y2=; 又由以线段AB为直径的圆:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(a+ck2)x2+(a+ck2)y2+(2ckm+d+ek)x+(dk+ek2-2am)y+cm2+em+f +am2-dkm+k2f=0. 1.应用圆的方程 子题类型Ⅰ:(2004年湖北高考试题)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B. (Ⅰ)求实数k的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在,求出k的值;不存在,说明理由. [解析]:(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+1代入2x2-y2=1得(2-k2)x2-2kx-2=0;所以,直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A、B2-k2≠0,Δ=4k2+8(2-k2)0,x1+x2=0,x1x2=-0k的取值范围是(-2.-); (Ⅱ)将y=kx+1代入2x2-y2=1消去x得(2-k2)y2-4y+2-k2=0,与(2-k2)x2-2kx-2=0相加得以线段AB为直径的圆:(2-k2)x2+(2- k2)y2-2kx-4y-k2=0,由右焦点F(,0)在圆上5k2+2k-6=0k=-∈(-2.-),或k=(-2.-). [点评]:对以圆锥曲线的弦为直径的圆过某点的问题,可用母题方法写出圆的方程,再把某点代入求解. 2.巧用圆的方程 子题类型Ⅱ:(2010年大纲卷Ⅱ高考试题)己知斜率为1的直线l与双曲线C:=1 (a0,b0)相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).(Ⅰ)求C的离心率; (Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF||BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切. [解析]:(Ⅰ)设B(x1,y1),D(x2,y2),由l:y=x+2,代入=1得:(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0x1+x2==2e=2; (Ⅱ)不妨设x1≤-a,x2≥a,则|BF|=a-2x1,|DF|=2x2-a|DF||BF|=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8;由|DF||BF|=175a2+4a +8=17a=1A(1,0),双曲线C:3x2-y2=3将y=x+2代入,消去y得:x2-2x-=0…①;消去x得:y2-6y+=0…②;由①+②得:x2+y2-2x-6y+1=0,此即为以线段BD为直径的圆的方程;又点A在此圆上过A、B、D三点的圆与x轴相切于点A. [点评]:巧用以圆锥曲线的弦为直径的圆是母题应用的精到之点,而以圆锥曲线的弦为直径的圆可直接写出. 3.妙解垂直问题 子题类型Ⅲ:(2000年北京、安徽春招试题)如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外 的两个动点,己知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. [解析]:设直线AB:x=ty+a(a≠0),代入y2=4px,消去y得:x2-2(a+2pt2)x+a2=0…①;消去x得:y2-4pty -4pa=0…②;由①+②得:x2+y2-2(a+2pt2)x-4pty+a2-4pa=0,此即为以线段AB为直径的圆的方程;由OA⊥OB原点0在此圆上a2-4pa=0a=4p直线AB恒过定点N(4p,0);又由OM⊥AB点M的轨迹是以ON为直径的圆(去掉坐标原点),其方程为(x-2p)2+y2=4p2(x2+y2≠0). [点评]:若A、B是圆锥曲线C上的两点,对满足PA与PB垂直的问题,均可用以圆锥曲线的弦为直径的圆获得巧妙解决. 4.子题系列: 1.(2004年同济大学保送生考试数学试题)设抛物线y=x2-(2k