固体物理基础第4章 能带理论.ppt

第4章 能带理论  　　　4.1 晶体中电子的共有化运动 4.1.1 真空自由电子 　　真空自由电子的运动特征是大家比较熟悉的内容，以一维情况为例，恒定势场中自由电子所服从的定态薛定谔方程为 式中，m0为电子静止质量，　为普朗克常数，k为电子波数，E为电子能量，V为恒定势场(可将其设为参考电势，即令V=0，它只影响电子的能量，而不影响电子运动的特点)。这时方程(4.1)的解，即真空自由电子的波函数是一个简单的平面波:考虑时间相关性时，则需要求解非定态薛定谔方程，这时电子的波函数为其中，A为振幅，ν为电子波的角频率。 　　根据波粒二象性，真空自由电子的动量和能量分别具有下面的表达式:式中，υx为电子沿x方向的平均运动速度。 　　由(4.5)式可知，真空电子的能量与电子波数之间具有如图4.1所示的抛物线关系，电子能量E和电子波数k均可以连续取值，电子在真空中各点出现的概率均相等(电子出现概率I∝　　　　　　)。 图4.1 真空自由电子的E~k关系 4.1.2 氢原子中的单电子 　　氢原子中单电子的运动在量子力学中已经得到了成功地解释，这里我们只需要引用其结论即可，这时，电子的能量表达式为式中，m0为电子静止质量，e为电子电荷，ε0为真空介电常数，　为普朗克常数，n称为主量子数。可见，氢原子中单电子的能量是不连续的，只能处于一系列分立的能量状态(能级)，氢原子中单电子的能级图如图4.2所示。 图4.2 氢原子中单电子的能级图 4.1.3 孤立原子中的多电子 　　对于具有多个电子的孤立原子而言，原子物理和量子力学也已经告诉我们，孤立原子中电子的能量也是不连续的，只能处于一系列分立的能级上，多个电子围绕原子核作圆周运动，形成壳层结构，如图4.3(a)所示。只是在描述电子运动时要比氢原子中的单电子复杂得多，除了主量子数n以外，还要用到角量子数l、磁量子数ml以及自旋量子数ms等参数。由于原子核的束缚作用，电子相当于被限制在一个很深的势阱中运动，如图4.3(b)所示，电子必须获得足够的能量才有可能摆脱原子核的束缚。 图4.3 孤立原子中多电子的壳层结构及势阱模型 4.1.4 晶体中电子的共有化运动 　　我们以一维Na晶体的形成过程为例，来看看当孤立原子相互靠近形成晶体时，其中电子的运动状态会发生什么变化。　Na原子的电子组态为1s22s22p63s1，当原子间距r远远大于晶格常数a时，可视为孤立原子，所有电子被局限在各自原子核周围作壳层运动，互不干扰，相当于原子间势垒很高很厚，原子间不发生电子交换，如图4.4(a)所示。理论计算表明，当r=30A(大约几个晶格常数)时，大约需要经过1020年，相邻原子间才会出现一次电子交换，即在B原子中发现A原子的电子。 图4.4 一维Na晶体中的电子状态 　　当r→a时(如图4.4(b)所示)，原子间相互作用增强，使得原子间势垒变低变窄，电子云开始发生交叠，这时，3s能级上电子(价电子)的能量大于势垒高度，成为可以在原子间“自由运动”的共有电子，晶体中电子的这种运动称为共有化运动。另外，内层电子(如2p能级上的电子，也有可能通过隧道效应而产生部分的共有化。 　　可见，晶体中电子的运动状态，既不同于孤立原子中的电子，也不同于真空自由电子。当孤立原子相互靠近形成晶体时，由于原子间相互作用的增强，电子云将发生一定程度的交叠，使原子间势垒变低变窄，从而使得外层电子实现共有化运动，而内层电子也会通过隧穿效应实现部分共有化。当然，晶体中电子的这种共有化运动的自由程度也是有限制的，首先，电子只能被限制在晶体内运动，要想摆脱晶体的束缚，电子还需要获得足够的能量(称为逸出功)；其次，即使在晶体内部，电子的运动也受到一定的限制，在晶格格点位置，周期性排列着带正电的原子实，也是共有化电子所不能到达的位置。 　　在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带，即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级，相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低，相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能带的过程如图4.5所示。 图4.5 能级分裂与能带 　　通过上面的分析，我们对晶体中电子的运动状态可以建立以下的基本认识：晶体中大量电子按照能量最低原理由低到高填充能级，形成一系列由允带(由能级分裂形成的允许电子存在的能量状态)和禁带(